Теорема Гротендика о расщеплении

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году.^[1] Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году,^[2] но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю^[3] и в 1905 году Давиду Гильберту.^[4]

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ обозначает расслоение с классом Черна ${\displaystyle a}$. Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица ${\displaystyle M}$, каждая компонента которой является многочленом Лорана от ${\displaystyle z}$, представляется в виде произведения

${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$,

где матрица ${\displaystyle M^{+}}$ — многочлен от ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle M^{0}}$ — диагональная матрица, и матрица ${\displaystyle M^{-}}$ — многочлен от ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$.

• Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

• Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ для любого поля ${\displaystyle k}$.^[5]

• Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.