Теорема Гурвица (теория чисел)

Теорема Гурвица — результат теории чисел, оценивающий возможность приближения иррациональных чисел рациональными.

Формулировка

Для любой константы $c\leqslant {\sqrt {5}}$ и иррационального числа $\xi$ существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $\xi$ приближаемо рациональными числами с точностью $|\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}$ .

Для любой константы $c>{\sqrt {5}}$ существует иррациональное число $\xi$ такое, что только конечное количество значений $k$ позволяют подобрать $h$ , удовлетворяющее $|\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}$ .

Доказательство

Теорема была доказана Адольфом Гурвицем в 1891 году. Контрпримером для $c>{\sqrt {5}}$ может являться число ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ .

Литература

К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Рациональное число</span> число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число

Рациона́льное число́ — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целое число, а $\text{[math]}$ — натуральное. Пример: $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ .

Иррациона́льное число́ — вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — целые числа, $\text{[math]}$ . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

$\text{[math]}$ — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число $\text{[math]}$ называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

<span class="mw-page-title-main">Формула конечных приращений</span>

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция $\text{[math]}$ непрерывна на отрезке $\text{[math]}$ и дифференцируема в интервале $\text{[math]}$ , то найдётся такая точка $\text{[math]}$ , что

\text{[math]}

Диверге́нция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное, который определяет, «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если $\text{[math]}$ — алгебраическое число степени $\text{[math]}$ , а $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — любые целые числа $\text{[math]}$ , то имеет место неравенство

\text{[math]}

Квадра́тный ко́рень из числа $\text{[math]}$ — число $\text{[math]}$ , дающее $\text{[math]}$ при возведении в квадрат: $\text{[math]}$ Равносильное определение: квадратный корень из числа $\text{[math]}$ — решение уравнения $\text{[math]}$ Операция вычисления значения квадратного корня из числа $\text{[math]}$ называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Непреры́вность действи́тельных чи́сел — свойство системы действительных чисел $\text{[math]}$ , которым не обладает множество рациональных чисел $\text{[math]}$ . Иногда вместо непрерывности говорят о полноте системы действительных чисел. Существует несколько различных формулировок свойства непрерывности, наиболее известные из которых: принцип непрерывности действительных чисел по Дедекинду, принцип вложенных отрезков Коши — Кантора, теорема о точной верхней грани. В зависимости от принятого определения действительного числа, свойство непрерывности может либо постулироваться как аксиома — в той или иной формулировке, либо доказываться в качестве теоремы.

Мера иррациональности действительного числа $\text{[math]}$ — это действительное число $\text{[math]}$ , показывающее, насколько хорошо $\text{[math]}$ может быть приближено рациональными числами.

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка $\text{[math]}$ .

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как $\text{[math]}$ и e, являются трансцендентными, а $\text{[math]}$ не является, поскольку $\text{[math]}$ есть корень многочлена $\text{[math]}$ .

Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $\text{[math]}$ с рациональными коэффициентами $\text{[math]}$ . В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.