Теорема Деррика

Теорема Деррика — это фундаментальная теорема, которая гласит, что солитонные решения нелинейных волновых уравнений или уравнения Клейн-Гордона в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

В работе 1964 г. ^[1] Г. Деррик проанализировал устойчивость локализованных стационарных решений в различных вариантах теории поля. Он показал, что решения нелинейных волновых уравнений в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Теорема Деррика формулируется следующим образом: Пусть ${\displaystyle \phi _{a}}$ скалярное поле и ${\displaystyle L}$ - плотность лагранжиана этого скалярного поля, а плотность энергии ${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{4}+\epsilon _{2}+\epsilon _{0}}$ где:

${\displaystyle \epsilon _{0}=g(\Phi )}$

${\displaystyle \epsilon _{2}=||\partial _{j}\Phi ||^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{4}=f(\Phi )\partial _{j}\phi ^{a}\partial _{k}\phi ^{b}\partial _{l}\phi ^{c}\partial _{m}\phi ^{d}M_{abcd}^{jklm}(\Phi )}$

Здесь ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle M}$ такие гладкие отображения ${\displaystyle P\to C}$, что соответствующие интегралы ${\displaystyle E_{2},E_{4},E_{0}}$ конечны и положительны. Тогда плотность Лагранжиана не имеет стационарных локализованных стабильных решений, если

${\displaystyle (2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}\neq 0}$

Это приводит к уравнению, которое называется вириальной теоремой для солитонов

${\displaystyle \left({\frac {d}{d\lambda }}E_{\lambda }\right){\Bigl |}_{\lambda =1}=(2-D)E_{2}+(4-D)E_{4}-DE_{0}=0}$

1. ↑ G.H. Derrick. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles (англ.) // J. Mathematical Phys. : journal. — 1964. — Vol. 5. — P. 1252—1254. — doi:10.1063/1.1704233. — Bibcode: 1964JMP.....5.1252D.