Теорема Жордана о конечных линейных группах

Теорема Жордана теорема о конечных линейных группах гарантирует наличие большой коммутативной подгруппы в любой конечной линейной группе.

В первоначальном виде доказана Камиллем Жорданом, позже несколько раз улучшена.

Для любой размерности ${\displaystyle n}$, существует число ${\displaystyle f(n)}$ такое, что любая конечная подгруппа ${\displaystyle G}$ группы ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ обратимых матриц с комплексными компонентами содержит нормальную коммутативную подгруппу ${\displaystyle H}$ с индексом ${\displaystyle [G:H]\leq f(n)}$

• Шур доказал более общий результат для периодических групп, при этом дал следующую оценку:

  ${\displaystyle f(n)=\left({\sqrt {8n}}+1\right)^{2n^{2}}-\left({\sqrt {8n}}-1\right)^{2n^{2}}}$^[1]

• Для конечных групп, более точную оценку доказал Андреас Спaйсер^[англ.]:

  ${\displaystyle f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi (n+1)+1)}}$

где ${\displaystyle \pi (n)}$ есть функция распределения простых чисел.^[2]

• Эта оценка была улучшена Бличфельдтом^[англ.], который заменил "12" на "6".
• Впоследствии, Майкл Коллинз, с помощью классификации конечных простых групп, показал, что ${\displaystyle f(n)=(n+1)!}$ при ${\displaystyle n\geq 71}$, и дал почти полное описаний поведения ${\displaystyle f(n)}$ при малых ${\displaystyle n}$.