Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций

Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году^[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

Пусть ${\displaystyle A_{0}=1,A_{1},...,A_{n}}$ - последовательность положительных чисел. Обозначим ${\displaystyle C_{A}}$ множество функций, определённых на интервале ${\displaystyle \left(-1,1\right)}$, бесконечно дифференцируемых на нём и удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle \max _{-1\leqslant x\leqslant 1}\left|f^{(\nu )}(x)\right|\leqslant B^{\nu }A_{\nu }}$, где ${\displaystyle \nu =0,1,2,...}$, ${\displaystyle B}$ - константа, зависящая от ${\displaystyle f(x)}$.

Класс ${\displaystyle C_{A}}$ называется квазианалитическим, если функция, ему принадлежащая, полностью определяется на интервале ${\displaystyle \left(-1,1\right)}$ значениями своих производных ${\displaystyle f^{(\nu )}(x)}$ в одной точке ${\displaystyle x_{0}}$. То есть если из равенств ${\displaystyle f^{(\nu )}(x_{0})=0}$ и принадлежности ${\displaystyle f(x)}$ классу ${\displaystyle C_{A}}$ следует, что ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$.

Необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса ${\displaystyle C_{A}}$ является расходимость интеграла^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lg \left(\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {v^{2\nu }}{A_{\nu }^{2}}}\right){\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

или, что то же самое, расходимость наименьшей невозрастающей мажоранты ряда

${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {1}{A_{\nu }^{\frac {1}{\nu }}}}}$

• Квазианалитическая функция