Теорема Клини о неподвижной точке

Теорема Клини о неподвижной точке — утверждение о существовании наименьшей неподвижной точки у всякого непрерывного по Скотту отображения полного частично упорядоченного множества на себя. Результат относят к Стивену Клини; используется в теории областей (англ. domain theory), теории решёток, теории графов, теории автоматов.

Ещё одно из утверждений класса теорем о неподвижной точке^[англ.] — теорема Кнастера — Тарского — гарантирует существование наименьшей неподвижной точки для отображений полных решёток на себя; теорема Клини о неподвижной точке говорит о существовании таковой для отображений любых полных частично упорядоченных множеств, но её действие распространено не на любые монотонные функции, а только на функции, непрерывные в топологии Скотта. Кроме того, теорема Клини, в отличие от теоремы Кнастера — Тарского, обеспечивает способ вычисления наименьшей неподвижной точки отображения $f\colon P\to P$ как точной верхней грани его цепи Клини ото дна $\bot$ частичного упорядоченного множества $\langle P,\sqsubseteq \rangle$ :

\bot \sqsubseteq f(\bot )\sqsubseteq f(f(\bot ))\sqsubseteq \cdots \sqsubseteq f^{n}(\bot )\sqsubseteq \cdots

Похожие исследовательские статьи

Алгебраи́ческая тополо́гия — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Изоморфи́зм — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC называется следующее высказывание теории множеств:

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов.

<span class="mw-page-title-main">Множество Жюлиа</span> множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения

Множество Жюлиа́ — множество $\text{[math]}$ , определяемое для рационального отображения $\text{[math]}$ как совокупность точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если $\text{[math]}$ — многочлен, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Решётка — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими. В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

Критической точкой дифференцируемой функции $\text{[math]}$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна. В простейшем случае n=1 это значит, что производная $\text{[math]}$ в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Теорема Кнастера — Тарского — теорема в теории решёток, впервые сформулированная в частном случае Брониславом Кнастером и обобщенная Альфредом Тарским. Утверждает, что для любого монотонного отображения $\text{[math]}$ полной решётки $\text{[math]}$ множество всех неподвижных точек $\text{[math]}$ также является полной решёткой.

Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если $\text{[math]}$ — частично упорядоченное множество, оператор $\text{[math]}$ будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия:

$\text{[math]}$ (экстенсивность),
$\text{[math]}$ (монотонность)
$\text{[math]}$ (идемпотентность)

В математической логике теория называется полной, если любая синтаксически корректная замкнутая формула или её отрицание доказуемы в данной теории. Если же существует замкнутая формула $\text{[math]}$ такая, что ни $\text{[math]}$ , ни отрицание $\text{[math]}$ не доказуемы в теории $\text{[math]}$ , то такая теория называется неполной. Замкнутость формулы означает, что она не содержит внешних параметров, а синтаксическая корректность означает соответствие правилам формального языка теории. Под доказуемостью формулы понимается существование последовательности формальных утверждений, каждое из которых либо является аксиомой теории, либо получается по формальным правилам вывода из предыдущих утверждений, причём последнее утверждение в последовательности совпадает с доказываемой формулой.

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения $\text{[math]}$ . Иногда такую точку называют инвариантной [по названию соответствующего у неё свойства].

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ — произвольные множества, а $\text{[math]}$ — совокупность всех подмножеств множества $\text{[math]}$ Многозначным отображением из множества $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ называется всякое отображение $\text{[math]}$ Обычно областью определения многозначного отображения $\text{[math]}$ является подмножество $\text{[math]}$ , а областью значений — пространство $\text{[math]}$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества $\text{[math]}$ то есть $\text{[math]}$

Пример 1. Пусть $\text{[math]}$ . Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ отрезок $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 2. Пусть $\text{[math]}$ — непрерывная функция. Положим $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Ставя в соответствие каждому значению $\text{[math]}$ множество $\text{[math]}$ мы получаем многозначное отображение $\text{[math]}$

Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Непрерывность по Скотту — свойство функций над частично упорядоченными множествами, выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка.

Соответствие Галуа — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.