Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Будем предполагать, что ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}...}$ последовательность независимых случайных величин, ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n}}$ и ${\displaystyle A}$ — множество тех элементарных исходов ${\displaystyle \omega }$, где ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}(\omega )}$ сходится к конечному пределу.

Пусть ${\displaystyle M\xi _{n}=0,n\geqslant 1}$. Тогда, если ${\displaystyle \sum M\xi _{n}^{2}<\infty }$, то ряд ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ сходится с вероятностью единица.

Если к тому же случайные величины ${\displaystyle \xi _{n},n\geqslant 1}$ равномерно ограничены: ${\displaystyle P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty }$, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда ${\displaystyle \sum \xi _{n}}$ следует первая часть.

Последовательность ${\displaystyle (S_{n}),n\geqslant 1}$, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единица^[1], то есть

${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty }$

(1)

В силу неравенства Колмогорова:

${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k=n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}}$

Поэтому, если ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty }$, то выполнено условие 1, следовательно, ряд ${\displaystyle \sum \xi _{k}}$ сходится с вероятностью единица.

Пусть ряд ${\displaystyle \sum \xi _{k}}$ сходится. Тогда в силу условия 1 для достаточно больших ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2}}}$

(2)

В силу неравенства Колмогорова ${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2}}{\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2}}}}$.

Поэтому, если допустить, что ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty }$, то получим

${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1}$, что противоречит неравенству 2 ${\displaystyle }$.

• Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)