Теорема Крамера о разложении нормального распределения

Теорема Крамера о разложении нормального распределения — утверждение в теории вероятности. Хорошо известно, что если случайные величины $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ независимы и нормально распределены, то их сумма также нормально распределена. Оказывается, что верно и обратное утверждение. Этот результат, предугаданный П. Леви^[1] и доказанный Крамером^[англ.]^*^[2], привел к возникновению нового направления в теории вероятностей — теории разложений случайных величин на независимые слагаемые (арифметики вероятностных распределений)^[3].

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение и представима в виде суммы двух независимых случайных величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$ . Тогда $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ также нормально распределены.

Доказательство теоремы Крамера о разложении нормального распределения использует теорию целых функций.

Литература

↑ Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402
↑ Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.
↑ Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов.. — Москва: Наука, 1972.

Похожие исследовательские статьи

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\text{[math]}$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $\text{[math]}$ , значения $\text{[math]}$ которой численно выражают исходы $\text{[math]}$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\text{[math]}$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

\text{[math]}

где параметр

\text{[math]}

— математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр

\text{[math]}

— среднеквадратическое отклонение,

\text{[math]}

— дисперсия распределения.

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов, основывающихся на центральной предельной теореме.

<span class="mw-page-title-main">Случайный процесс</span>

Случа́йный проце́сс в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания распределения случайной величины. Во многих практических приложениях понятия «плотность вероятности» и «плотность (распределения) случайной величины» или «функция распределения вероятностей» фактически синонимизируются и под ними подразумевается вещественная функция, характеризующая сравнительную вероятность реализации тех или иных значений случайной переменной (переменных).

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр $\text{[math]}$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве $\text{[math]}$ базисных функций, используемых для представления:

\text{[math]}

Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины $\text{[math]}$ с плотностью

\text{[math]}

Статистическая оценка — это статистика, которая используется для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины.

Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Теорема Эрдёша — Каца — утверждение в теории чисел, которое связывает распределение числа разных простых делителей больших чисел с формулами предельных законов теории вероятностей. Этот результат теории чисел, полученный Палом Эрдёшом и Марком Кацем в 1940 году утверждает, что если $\text{[math]}$ — число различных простых делителей числа $\text{[math]}$ , то предельное распределение величины

\text{[math]}

Факторизационное тождество- тождество, определяющее свойство характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы.

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Теорема Колмогорова о трёх рядах, названная в честь Андрея Колмогорова, в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин через сходимость рядов, связанных с их распределениями вероятностей. Теорема Колмогорова о трёх рядах в сочетании с леммой Кронекера может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задаёт достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Для сходимости с вероятностью единица ряда $\text{[math]}$ из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Если к тому же $\text{[math]}$ , то это условие является и необходимым.

Совместное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение совместных исходов $\text{[math]}$ , образованных из нескольких случайных величин $\text{[math]}$ . Например, если случайная величина $\text{[math]}$ есть результат кидания первой игральной кости, а случайная величина $\text{[math]}$ есть результат кидания другой игральной кости, то результат $\text{[math]}$ совместного кидания игральных костей является составной случайной величиной и имеет совместное распределение.

Теорема Линника о разложении свертки нормального распределения и распределения Пуассона — обобщение теоремы Крамера о нормальном распределении и теоремы Райкова о распределении Пуассона на свертки нормального распределения и распределения Пуассона.

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.