Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа^[1]; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени ${\displaystyle n=2}$. Поскольку числа вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),}$ где ${\displaystyle {\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots }}}$, непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах^[1], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди ${\displaystyle G(2)=4}$.

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа ${\displaystyle N}$ с помощью ${\displaystyle O(N^{2}\log _{2}{N})}$ арифметических операций^[2]. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов^[3].

Примеры:

${\displaystyle 3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}}$

${\displaystyle 31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}}$

${\displaystyle 310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}}$

${\displaystyle 9=3^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}}$