Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Пусть фиксировано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$. Предположим, что ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и ${\displaystyle f}$ — измеримые функции на ${\displaystyle A\subseteq X}$, причём ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ почти всюду на ${\displaystyle A}$. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на ${\displaystyle A}$ функция ${\displaystyle g}$ такая, что любая функция ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ почти всюду, то функции ${\displaystyle f_{n},f}$ интегрируемы и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx).}$

Пусть задано положительное ${\displaystyle \varepsilon .}$ В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега^[2] найдётся такое положительное ${\displaystyle \delta }$, что интеграл по любому множеству ${\displaystyle B\subseteq A}$, меры меньше ${\displaystyle \delta }$, меньше ${\displaystyle \textstyle {\frac {\varepsilon }{4}}.}$

В то же время любое множество ${\displaystyle B}$ удовлетворяет теореме Егорова, так что его можно выбрать таким образом, чтобы на дополнении ${\displaystyle C=A\setminus B}$ сходимость была равномерной. Из определения равномерной сходимости следует, что найдётся номер ${\displaystyle N}$, после которого для всех номеров ${\displaystyle n}$, не меньших ${\displaystyle N}$, для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle C}$ функция ${\displaystyle f_{n}(x)}$ по модулю отличается от ${\displaystyle f(x)}$ меньше, чем на ${\displaystyle \textstyle {\frac {\varepsilon }{2\mu C}}.}$

Также, ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ почти всюду на множестве ${\displaystyle A}$, а значит, и на его подмножестве ${\displaystyle B.}$ Следовательно, интеграл от ${\displaystyle |f_{n}(x)|}$ по множеству ${\displaystyle B}$ не превосходит интеграл от ${\displaystyle g(x)}$ по этому же множеству. То же верно и для ${\displaystyle |f(x)|}$, которая не превосходит ${\displaystyle g(x)}$ почти всюду как предел ${\displaystyle {\big \{}|f_{n}(x)|{\big \}}}$ и, таким образом, интегрируема.

В совокупности из этих трёх условий при ${\displaystyle n\geqslant N}$ следует неравенство:

${\displaystyle \left|\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)\right|=}$ ${\displaystyle \left|\int \limits _{C}f_{n}(x)-f(x)\,\mu (dx)+\int \limits _{B}f_{n}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant }$ ${\displaystyle \left|\int \limits _{C}f_{n}(x)-f(x)\,\mu (dx)\right|+\left|\int \limits _{B}f_{n}(x)\,\mu (dx)\right|+\left|\int \limits _{B}f(x)\,\mu (dx)\right|\leqslant }$ ${\displaystyle \int \limits _{C}|f_{n}(x)-f(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B}|f_{n}(x)|\,\mu (dx)+\int \limits _{B}|f(x)|\,\mu (dx)<}$ ${\displaystyle \int \limits _{C}{\frac {\varepsilon }{2\mu C}}+2\int \limits _{B}g(x)\,\mu (dx)<}$ ${\displaystyle \mu C\cdot {\frac {\varepsilon }{2\mu C}}+2\cdot {\frac {\varepsilon }{4}}=\varepsilon .}$

Значит, для любого положительного ${\displaystyle \varepsilon }$ существует номер ${\displaystyle N}$, после которого для всех номеров ${\displaystyle n}$, разность интегралов по множеству ${\displaystyle A}$ от функций ${\displaystyle f_{n}(x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ по модулю меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, то есть предел интеграла от ${\displaystyle f_{n}(x)}$ равен ${\displaystyle f(x)}$ по определению.

Условие мажорированности последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ интегрируемой функцией ${\displaystyle g}$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на ${\displaystyle [0,\;1]}$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим функцию ${\displaystyle f_{n}(x)}$ равной ${\displaystyle n}$ при ${\textstyle 0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}}$ или нулю в противном случае.

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n,&0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}};\\0,&{\dfrac {1}{n}}\leqslant x\leqslant 1.\end{cases}}}$

Тогда последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).}$

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: ${\displaystyle X_{n}\to X}$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина ${\displaystyle Y}$, такая что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y}$ почти наверное. Тогда случайные величины ${\displaystyle X_{n},\;X}$ интегрируемы и

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X}$^[3].

• Теорема Фату — Лебега^[англ.]

1. ↑ Колмогоров, Фомин, 1976, с. 302—303.
2. ↑ Интеграл Лебега
3. ↑ Ширяев А. Н. Вероятность –– 1 (рус.). — 4-е изд., переработ. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. — С. 264. — ISBN 978-5-94057-105-6.

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — М.: Наука, 1976. — С. 302—303.