Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.
Формулировка теоремы
Пусть решения системы

где
— постоянная
-матрица, ограничены на
. Тогда система
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7461e6b7281d6ab8e598a5a83d0da2f60486d62)
где
и 
асимптотически эквивалентна системе
.
Доказательство
(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру [1])
Поскольку решения системы
ограничены, то характеристические корни
матрицы
удовлетворяют равенству

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.
Без ограничения общности предположим, что матрица
имеет квазидиагональный вид

где
и
-- соответственно,
- и
-матрицы
такие, что


Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований
и
где
— постоянная
-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми
индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми
.
Кроме того, из предельного отношения
при
очевидно, следует предельное отношение
при
.
Пусть
-- фундаментальная матрица системы
нормированная в нуле:
а
и
где
и
-- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, 
Положим
где
и
.
Отсюда матрицу Коши
можно представить в виде:

причем при условии
имеем

при
и

при
где
- некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме
Поскольку матрица
абсолютно интегрирована на
то все решения
системы
ограничены на 
и поэтому несобственный интеграл
является сходящимся.
Отсюда, учитывая, что
наше интегральное уравнение можно представить в виде


Решению
системы
с начальным условием
сопоставим решение
системы
с начальным условием

Поскольку решения
и
полностью определяются своими начальными условиями, то формула
устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений
системы
и множеством решений
(или ее частью) системы
. Заметим, что отношение
непрерывное относительно начального значения
Покажем, что соответствие между решениями
и
что определяется формулой
является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений
.
Пусть
-- фундаментальная матрица системы
такая, что
. Имеем

Но из неравенств
следует
при
; поэтому

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

при

причем константа
по оценке
не зависит от выбора начального момента 
Очевидно, имеем 
Поэтому из формулы
получаем
где
причем на основе
выводим

Поскольку матрица
абсолютно интегрирована на
, то
при
, следовательно, в силу
начальный момент
можно выбрать настолько большим, чтобы имело место
В дальнейшем
будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства
. Отсюда и из формулы
выводим

Поскольку формулы
и
равносильны, то для каждого решения
системы
с начальным условием
найдется только одно решение
системы
которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие
которого определяется формулой
Соответствие между решениями
и
, которое устанавливается формулами
и
-- взаимно однозначное, т.е. каждому решению
соответствует одно и только одно решение
, и наоборот.
Отметим, что тривиальному решению
соответствует тривиальное решение
и в силу линейности соотношений
и
различными решениям
и
системы
отвечают разные решения
и
системы
и наоборот.
Для соответствующих решений
и
оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что
где
определяется формулой
, то из формулы
имеем

Отсюда, учитывая, что
при 
на основе оценок
и
получаем


Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы
при
имеем
если 
Итак,

Таким образом, из неравенства
выводим
то есть системы
и
асимптотически эквивалентны. Доказано.
См. также
Примечания
- ↑ Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758-765
Источники
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рус.)(рус.)