Теорема Левинсона

Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.

Пусть решения системы

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (1)}$

где ${\displaystyle A}$ — постоянная ${\displaystyle (n\times n)}$-матрица, ограничены на ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тогда система

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)}$

где ${\displaystyle B(t)\in C[0,\infty )}$и ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty ,\quad (3)}$

асимптотически эквивалентна системе ${\displaystyle \quad (1)}$.

(Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру ^[1])

Поскольку решения системы ${\displaystyle \quad (1)}$ ограничены, то характеристические корни ${\displaystyle \lambda \ (A)}$ матрицы ${\displaystyle A}$  удовлетворяют равенству

${\displaystyle Re\lambda \ (A)\leq \ 0,}$

причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.

Без ограничения общности предположим, что матрица ${\displaystyle A}$  имеет квазидиагональный вид

${\displaystyle \quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)}$

где ${\displaystyle \quad A_{1}}$  и ${\displaystyle \quad A_{2}}$ -- соответственно, ${\displaystyle (p\times p)}$- и ${\displaystyle (q\times q)}$-матрицы ${\displaystyle \quad (p+q)}$ такие, что

${\displaystyle Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,}$

${\displaystyle Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)}$

Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований ${\displaystyle \xi \ =S{\boldsymbol {x}},}$ и ${\displaystyle \eta \ =S{\boldsymbol {y}},}$ где ${\displaystyle \quad S}$ — постоянная ${\displaystyle (n\times n)}$-матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)\Longleftrightarrow {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=S^{-1}\xi (t)\Longleftrightarrow S^{-1}\eta (t)={\boldsymbol {y}}(t)}$.

Кроме того, из предельного отношения ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)-{\boldsymbol {\eta }}(t)\to 0,}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$ очевидно, следует предельное отношение

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)-{\boldsymbol {y}}(t)\to 0,}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$.

${\displaystyle \quad 1)}$  Пусть  ${\displaystyle \quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})}$ -- фундаментальная матрица системы ${\displaystyle \quad (1),}$ нормированная в нуле: ${\displaystyle \quad X(t)=E,}$ а ${\displaystyle \quad I_{1}=diag(E_{p},0),}$ и ${\displaystyle \quad I_{2}=diag(0,E_{q}),}$ где ${\displaystyle \quad E_{q}}$ и ${\displaystyle \quad E_{p}}$ -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно, ${\displaystyle \quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.}$

Положим ${\displaystyle \quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),}$ где ${\displaystyle \quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}\equiv diag(e^{tA_{1}},0),}$ и ${\displaystyle \quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}\equiv diag(0,e^{tA_{2}})}$.

Отсюда матрицу Коши ${\displaystyle \quad K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )}$ можно представить в виде:

причем при условии ${\displaystyle \quad (5)}$ имеем

при ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$   ${\displaystyle \quad (6)}$ и

 при ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ ${\displaystyle \quad (7),}$ где ${\displaystyle \quad a,b}$ - некоторые положительные константы. Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме

Поскольку матрица ${\displaystyle \quad B(t)}$ абсолютно интегрирована на ${\displaystyle [0,\infty ),}$ то все решения ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$ системы ${\displaystyle \quad (2)}$ ограничены на ${\displaystyle [0,\infty ),}$

и поэтому несобственный интеграл ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau }$ является сходящимся.

Отсюда, учитывая, что ${\displaystyle \quad X_{2}(t-\tau )=X(t-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}-\tau ),}$ наше интегральное уравнение можно представить в виде

Решению ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}$ системы ${\displaystyle \quad (2)}$ с начальным условием ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}}$ сопоставим решение ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ системы ${\displaystyle \quad (1)}$ с начальным условием

Поскольку решения ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ и ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}$ полностью определяются своими начальными условиями, то формула ${\displaystyle \quad (9)}$ устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {y}}(t)\rbrace }$ системы ${\displaystyle \quad (2)}$ и множеством решений ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }$ (или ее частью) системы ${\displaystyle \quad (1)}$. Заметим, что отношение ${\displaystyle \quad (9)}$ непрерывное относительно начального значения${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}.}$

${\displaystyle \quad 2)}$  Покажем, что соответствие между решениями ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ и ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t),}$ что определяется формулой ${\displaystyle \quad (9),}$ является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений ${\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }$.

Пусть ${\displaystyle \quad Y(t)}$ -- фундаментальная матрица системы ${\displaystyle \quad (1)}$ такая, что ${\displaystyle \quad Y(t_{0})=E}$. Имеем

Но из неравенств ${\displaystyle \quad (6),(7)}$ следует ${\displaystyle \lVert X(t-t_{0})\rVert \leq max(a,b)=c,}$   при ${\displaystyle t\geq t_{0}}$; поэтому

и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находим

${\displaystyle \lVert Y(t)\rVert \geq c\,\exp(\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )\geq c\,\exp(c\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )=k,\quad }$

при${\displaystyle t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),}$

причем константа ${\displaystyle \quad k}$ по оценке ${\displaystyle \quad (10)}$ не зависит от выбора начального момента ${\displaystyle t_{0}(t_{0}\leq 0).}$

Очевидно, имеем ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)=Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0}).}$

Поэтому из формулы ${\displaystyle \quad (9)}$ получаем ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0}),\quad }$ где ${\displaystyle Z(t_{0})=\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau ,\quad }$ причем на основе ${\displaystyle \quad (7),(10)}$ выводим

Поскольку матрица ${\displaystyle \quad B(t)}$ абсолютно интегрирована на ${\displaystyle \quad [0,\infty )}$, то ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \to 0}$ при ${\displaystyle t_{0}\to \infty }$, следовательно, в силу ${\displaystyle \quad (12)}$ начальный момент ${\displaystyle \quad t_{0}}$ можно выбрать настолько большим, чтобы имело место ${\displaystyle \det \lbrack E+Z(t_{0})\rbrack >0.(13)}$ В дальнейшем ${\displaystyle \quad t_{0}\quad }$ будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства ${\displaystyle \quad (13)}$. Отсюда и из формулы ${\displaystyle \quad (11)}$ выводим

Поскольку формулы ${\displaystyle \quad (11)}$ и ${\displaystyle \quad (14)}$ равносильны, то для каждого решения ${\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}$ системы ${\displaystyle \quad (1)}$ с начальным условием${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x_{0}}}\quad }$ найдется только одно решение ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }$ системы ${\displaystyle \quad (2),}$ которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})\quad }$ которого определяется формулой${\displaystyle \quad (14).}$

Соответствие между решениями ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$, которое устанавливается формулами ${\displaystyle \quad (11)}$ и ${\displaystyle \quad (14),\quad }$ -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}$ соответствует одно и только одно решение ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }$, и наоборот.

Отметим, что тривиальному решению ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}\equiv 0\quad }$ соответствует тривиальное решение ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\equiv 0\quad }$ и в силу линейности соотношений ${\displaystyle \quad (11)}$ и ${\displaystyle \quad (14)}$ различными решениям ${\displaystyle {\boldsymbol {y_{1}}}(t)}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {y_{2}}}(t)\quad }$ системы ${\displaystyle \quad (2),}$ отвечают разные решения ${\displaystyle {\boldsymbol {x_{1}}}(t)\quad }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {x_{2}}}(t)\quad }$ системы ${\displaystyle \quad (1),}$ и наоборот.

Для соответствующих решений ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }$ оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {x}}(t_{0}),\qquad }$ где ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})}$ определяется формулой ${\displaystyle \quad (9)}$, то из формулы ${\displaystyle \quad (8)}$ имеем

Отсюда, учитывая, что

на основе оценок ${\displaystyle \quad (6)}$ и ${\displaystyle \quad (7)}$ получаем

${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq }$

Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы ${\displaystyle \quad B(t)}$ при ${\displaystyle t\geq 2t_{0}}$ имеем${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq }$

Итак,

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =0.}$

Таким образом, из неравенства ${\displaystyle \quad (15)}$выводим ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0,}$ то есть системы ${\displaystyle \quad (1)}$ и ${\displaystyle \quad (2)}$ асимптотически эквивалентны. Доказано.

• Лемма Гронуолла-Беллмана
• Асимптотически эквивалентные системы

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.  (рус.)(рус.)