Теорема Линника
Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.
Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.
Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях[1][2].
Формулировка
Для взаимопростых чисел обозначим через минимальное число в прогрессии вида , являющееся простым. Существуют такие абсолютные константы , что для любых взаимопростых выполняется |
Другие свойства и гипотезы
Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что
- ,
где — функция Эйлера.
Существует также гипотеза, что
Улучшение оценок на показатель L
Показатель в оценке иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа эффективно вычислима[англ.], однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.
| L ≤ | Год публикации | Автор |
|---|---|---|
| 10000 | 1957 | Пан Ченгдонг[англ.][3] |
| 5448 | 1958 | Пан Ченгдонг |
| 777 | 1965 | Chen Jingrun[4] |
| 630 | 1971 | Matti Jutila |
| 550 | 1970 | Matti Jutila[5] |
| 168 | 1977 | Chen Jingrun[6] |
| 80 | 1977 | Matti Jutila[7] |
| 36 | 1977 | Сидней Грэхем[англ.][8] |
| 20 | 1981 | Сидней Грэхем[9] |
| 17 | 1979 | Chen Jingrun[10] |
| 16 | 1986 | Вонг |
| 13,5 | 1989 | Chen Jingrun и Liu[11][12] |
| 8 | 1990 | Вонг[13] |
| 5,5 | 1992 | Хиз-Браун[англ.][14] |
| 5,18 | 2009 | Xylouris[15] |
| 5 | 2011 | Xylouris[16] |
См. также
Примечания
- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 139—178. Архивировано 29 января 2020 года.
- ↑ Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon (англ.) // Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. : journal. — 1944. — Vol. 15, no. 57. — P. 347—368. Архивировано 29 января 2020 года.
- ↑ Pan, Cheng Dong. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Record (N.S.). — 1957. — Т. 1. — С. 311—313.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression (неопр.) // Sci. Sinica. — 1965. — Т. 14. — С. 1868—1871.
- ↑ Jutila, Matti. A new estimate for Linnik's constant (неопр.) // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No.. — 1970. — Т. 471.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1977. — Vol. 20, no. 5. — P. 529—562.
- ↑ Jutila, Matti. On Linnik's constant (неопр.) // Math. Scand.. — 1977. — Т. 41, № 1. — С. 45—62.
- ↑ Graham, Sidney West (1977). Applications of sieve methods (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. MR 2627480.
- ↑ Graham, S. W. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.[англ.]. — 1981. — Т. 39, № 2. — С. 163—179.
- ↑ Chen, Jingrun. On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II (англ.) // Sci. Sinica : journal. — 1979. — Vol. 22, no. 8. — P. 859—889.
- ↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. III (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 6. — P. 654—673.
- ↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min. On the least prime in an arithmetical progression. IV (англ.) // Sci. China Ser. A : journal. — 1989. — Vol. 32, no. 7. — P. 792—807.
- ↑ Wang, Wei. On the least prime in an arithmetical progression (англ.) // Acta Mathematica Sinica, New Series[англ.] : journal. — 1991. — Vol. 7, no. 3. — P. 279—288.
- ↑ Heath-Brown, Roger. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1992. — Vol. 64, no. 3. — P. 265—338. — doi:10.1112/plms/s3-64.2.265.
- ↑ Xylouris, Triantafyllos. On Linnik's constant (неопр.) // Acta Arith.[англ.]. — 2011. — Т. 150, № 1. — С. 65—91. — doi:10.4064/aa150-1-4.
- ↑ Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [The zeros of Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression] (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences) (нем.). Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819.
