Теорема Моро

Теорема Моро — это результат в выпуклом анализе. Она показывает, что достаточно хорошие выпуклые функционалы на гильбертовых пространствах дифференцируемы и производная хорошо аппроксимируется так называемой аппроксимацией Иосиды, которая определяется в терминах резольвенты.

Пусть ${\displaystyle \varphi :H\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ будет собственным выпуклым полунепрерывным снизу функционалом в гильбертовом пространстве H со значениями в расширенной числовой прямой. Пусть A означает ${\displaystyle \partial \varphi }$, субдифференциал ${\displaystyle \varphi }$. Для ${\displaystyle \alpha >0}$ пусть ${\displaystyle J_{\alpha }}$ означает резольвенту:

${\displaystyle J_{\alpha }=(\mathrm {id} +\alpha A)^{-1};}$

а ${\displaystyle A_{\alpha }}$ означает аппроксимацию Иосиды для A:

${\displaystyle A_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}(\mathrm {id} -J_{\alpha }).}$

Для каждого ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle x\in H}$ положим

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)=\inf _{y\in H}{\frac {1}{2\alpha }}\|y-x\|^{2}+\varphi (y).}$

Тогда

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)={\frac {\alpha }{2}}\|A_{\alpha }x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha }(x))}$,

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ выпукла и дифференцируема по Фреше с производной ${\displaystyle d\varphi +\alpha =A_{\alpha }}$. Кроме того, для любого ${\displaystyle x\in H}$(поточечно), ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(x)}$ сходится к ${\displaystyle \varphi (x)}$ при ${\displaystyle \alpha \to 0}$.

• Ralph E. Showalter. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1997. — С. 162–163. — (Mathematical Surveys and Monographs 49). — ISBN 0-8218-0500-2. MR: 1422252 (Предложение IV.1.8)