Теорема Ока об аппроксимации

Теорема Ока об аппроксимации — теорема о необходимых и достаточных условиях аппроксимации голоморфной функции нескольких комплексных переменных. Сформулирована и доказана К. Ока^[англ.] в 1939 году^[1].

Формулировка

Пусть $D$ — область пространства $C^{n}$ , $\Phi$ — некоторое семейство функций, голоморфных в этой области. Любая функция $F(z)$ , голоморфная в области $D$ , в том и только в том случае может быть представлена как сумма ряда, равномерно сходящегося в этой области и состоящего из функций, принадлежащих к семейству $\Phi$ , если оболочка голоморфности $H(D)$ этой области $D$ выпукла относительно семейства $\Phi$ .

Пояснения

Пространство $C^{n}$ — пространство $n$ комплексных переменных. Оболочкой голоморфности $H(D)$ области $D$ называется область, являющаяся пересечением областей голоморфности всех функций, голоморфных в области $D$ ^[2].

Примечания

↑ Oka К. Sur les fonctions analytiques des plusieurs variables complexes // Journ. Sci. Hirosima Univ. — 1939. — 1) сер. А, 6 (1936), 245—255; 2) сер. А, 7 (1937), 115—130; 3) сер. А, 9 (1939), 7—19.
↑ Фукс, Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1962. — С. 220.

Литература

Фукс, Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. — М.: Наука, 1963. — С. 40.

Похожие исследовательские статьи

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция $\text{[math]}$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $\text{[math]}$ , удовлетворяющая уравнению Лапласа:

\text{[math]}

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости. В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.

Элемента́рные фу́нкции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

степенная функция с любым действительным показателем;
показательная и логарифмическая функции;
тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Плюрисубгармоническая функция — вещественнозначная функция $\text{[math]}$ , от $\text{[math]}$ комплексных переменных $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ комплексного пространства $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , удовлетворяющая следующим условиям:

$\text{[math]}$ полунепрерывна сверху всюду в $\text{[math]}$ ;
$\text{[math]}$ есть субгармоническая функция переменного $\text{[math]}$ в каждой связной компоненте открытого множества $\text{[math]}$ для любых фиксированных точек $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Теорема Пэли-Винера — совокупность всех целых функций $\text{[math]}$ экспоненциального типа $\text{[math]}$ , для которых $\text{[math]}$ совпадает с множеством функций $\text{[math]}$ , допускающих представление $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ .

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Функция $\text{[math]}$ называется моногенной в точке $\text{[math]}$ , если предел

\text{[math]}

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США и также опубликованы в монографии. Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля.

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Квантовополевая теория возмущений в статистической физике — метод исследования взаимодействующих систем в статистической физике основанный на приёмах, первоначально развитых для нужд физики элементарных частиц. Теория возмущений (ТВ) основана на пошаговом учёте возмущения, которое считается малым. На нулевом шаге это возмущение вовсе исключается, что соответствует идеализированной свободной системе. На следующем шаге учитывается уже линейная по возмущению поправка к нулевому приближению, на втором шаге — квадратичная поправка и так далее. Конечно же, таким способом нельзя учесть вклад всех порядков в вычисляемую величину. Обычно ограничиваются несколькими первыми членами разложения и получают хорошее согласие с экспериментальными данными. Для уточнения вычислений необходимо учитывать следующие члены разложения. Очень успешно ТВ применяется в методе интегралов по траекториям

Теорема Стилтьеса — теорема о свойствах нормальных семейств голоморфных функций одного или многих комплексных переменных. Названа в честь Томаса Стилтьеса.

Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.