Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году[1].
Формулировка
Пусть
есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы,
есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы,
- статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:

Равенство имеет место в том случае, когда
есть полная система собственных функций оператора
.
Доказательство
Пусть
есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма
удовлетворяет тождеству
.
Перепишем доказываемое равенство
в виде:
,
где

Пусть
есть полная система ортонормированных собственных функций оператора
:
.
Поскольку оператор
эрмитов, собственные значения
действительны. Существует унитарное преобразование
, переводящее
в
:
,
где
- совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:
.
Поэтому
.
Справедливо уравнение:
.
Для любого
следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:
,
.
В уравнении
каждый член суммы имеет вид
и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма
, что завершает доказательство теоремы.
Лемма
Пусть
есть совокупность действительных чисел,
есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям
и
,
. Обозначим по определению
для любой функции
. Тогда выполняется неравенство:
.
По теореме о среднем значении:
, где
- фиксированное действительное число.
Используя условие
получаем:
.
Второй член здесь не отрицателен, потому что
и
.
Лемма доказана.
Примечания
- ↑ Peierls R. E. Phys. Rev., 54, 918 (1938)
Литература
- Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.