Теорема Райкова

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. ^[1][2][3].

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Пусть случайная величина ${\displaystyle \xi }$ имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\xi _{2}}$. Тогда распределения случайных величин ${\displaystyle \xi _{1}}$ и ${\displaystyle \xi _{2}}$ являются смещёнными распределениями Пуассона.

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть ${\displaystyle X}$ — локально компактная абелева группа. Обозначим через ${\displaystyle M^{1}(X)}$ сверточную полугруппу вероятностных распределений на ${\displaystyle X}$, а через ${\displaystyle E_{x}}$ — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке ${\displaystyle x\in X}$. Пусть ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle \lambda >0}$.

Распределением Пуассона, порождённым мерой ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$, называется смещённым распределения вида

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).}$

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — распределение Пуассона, порождённое мерой ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$. Пусть ${\displaystyle \mu =\mu _{1}*\mu _{2},}$ где ${\displaystyle \mu _{j}\in M^{1}(X)}$. Если ${\displaystyle x_{0}}$ — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то ${\displaystyle \mu _{j}}$ также является распределением Пуассона. Если же ${\displaystyle x_{0}}$ — элемент конечного порядка ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n\neq 2}$, то ${\displaystyle \mu _{j}}$ может быть не распределением Пуассона.