Теорема Римана об устранимой особой точке

Теорема Римана — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.

Формулировка

Допустим, что $z_{0}\in G\subset \mathbb {C}$ и $f$ аналитична в $G\setminus \{z_{0}\}$ . Следующие пять условий равносильны:

$f$ аналитически продолжаема в точку $z_{0}$ ;
$f$ непрерывно продолжаема в точку $z_{0}$ ;
Существует некоторая окрестность ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ , в которой $f$ ограничена;
$\lim _{z\to z_{0}}\,(z-z_{0})f(z)=0$ ;
Точка $z_{0}$ — устранимая особенность $f$ .

Похожие исследовательские статьи

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.

<span class="mw-page-title-main">Предел функции</span> величина, к которой значение функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке

Преде́лом фу́нкции в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков», то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Опера́тор Лапла́са — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $\text{[math]}$ . Функции $\text{[math]}$ он ставит в соответствие функцию

\text{[math]}

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

<span class="mw-page-title-main">Условия Коши — Римана</span>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $\text{[math]}$ и мнимую $\text{[math]}$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\text{[math]}$ .

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Мероморфная функция одного комплексного переменного в области $\text{[math]}$ — голоморфная функция $\text{[math]}$ в области $\text{[math]}$ , которая в каждой особой точке $\text{[math]}$ имеет полюс.

Вы́чет в комплексном анализе — объект, характеризующий локальные свойства заданной функции или формы.

Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ называется полюсом функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

\text{[math]}

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ называется устранимой особой точкой функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует конечный предел

\text{[math]}

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел $\text{[math]}$ не существует.

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\text{[math]}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\text{[math]}$ некоторую кривую;
m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\text{[math]}$ , вообще говоря, m-мерную поверхность;
векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\text{[math]}$ .

<span class="mw-page-title-main">Ноль в нулевой степени</span> математическая неопределëнность

Выражение 0⁰ многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Связано это с тем, что функция двух переменных $\text{[math]}$ в точке $\text{[math]}$ имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0⁰ не может дать непрерывную в нуле функцию.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.