Теорема Риса о линейном функционале

Теорема Риса о линейном функционале (также теорема Риса — Фреше) — утверждет, что каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с некоторым элементом. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство и ${\displaystyle f}$ — линейный ограниченный функционал на ${\displaystyle H}$. Тогда существует единственный элемент ${\displaystyle y\in H}$, такой, что

${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }$

для любого ${\displaystyle x\in H}$. Более того,

${\displaystyle \|y\|=\|f\|\mathrel {:=} \sup _{x\neq 0}\left\{\,{\tfrac {\|f(x)\|}{\|x\|}}\,\right\}.}$

• Теорема Лакса — Мильграма