Теорема Саса

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Саса — утверждение о необходимых и достаточных условиях замкнутости класса степенных функций. Была доказана Сасом в 1916 году^[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

Замкнутое множество функций

Множество функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ называется замкнутым на интервале $(a,b)$ , если из условия $\int _{a}^{b}f(x)f_{n}(x)dx=0,n=1,2,...$ следует, что $f(x)$ обращается в нуль всюду, кроме множества меры нуль, если только $f(x)\in L^{2}$ , то есть её квадрат модуля интегрируем.

Формулировка

Пусть $\lambda _{n}$ - множество комплексных чисел с вещественными частями, превосходящими $-{\frac {1}{2}}$ . Для того, чтобы множество степенных функций $\left\{x^{\lambda _{n}}\right\}$ было замкнуто в $L^{2}$ на интервале $(0,1)$ необходимо и достаточно, чтобы $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}=\infty$ ^[2].

См. также

Lp (пространство)
Теорема Мюнтца-Саса

Примечания

↑ O. Szasz Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen, Mathematishe Annalen, Bd. 77 (1916), pp. 482-496
↑ Н. Винер, Р. Пэли Преобразование Фурье в комплексной области. — М., Наука, 1964. — с. 57

Похожие исследовательские статьи

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

<span class="mw-page-title-main">Уравнение теплопроводности</span>

Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

Вариацио́нное исчисле́ние — раздел анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Наиболее типичная задача — найти функцию, на которой заданный функционал достигает экстремального значения.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Однородная функция степени $\text{[math]}$ — числовая функция $\text{[math]}$ такая, что для любого $\text{[math]}$ из области определения функции $\text{[math]}$ и любого $\text{[math]}$ выполняется равенство:

\text{[math]}

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $\text{[math]}$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\text{[math]}$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения, он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Гипергеометри́ческая фу́нкция — одна из специальных функций. Определяется внутри круга $\text{[math]}$ как сумма гипергеометрического ряда

\text{[math]}

Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объёме дискретного описания сигналов, то есть о количестве $\text{[math]}$ базисных функций, используемых для представления:

\text{[math]}

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел, которая утверждает, что функция распределения простых чисел $\text{[math]}$ растёт с увеличением $\text{[math]}$ как $\text{[math]}$ , то есть:

\text{[math]}

, когда

\text{[math]}

Линейный функционал $\text{[math]}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $\text{[math]}$

Теорема Пикара - теорема существования и единственности решения для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с замкнутым симметричным ядром $\text{[math]}$ вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ имеет единственное решение в классе функций $\text{[math]}$ тогда и только тогда, когда ряд $\text{[math]}$ сходится.

Принцип максимума энтропии утверждает, что наиболее характерными распределениями вероятностей состояний неопределенной среды являются такие распределения, которые максимизируют выбранную меру неопределенности при заданной информации о «поведении» среды. Впервые подобный подход использовал Д.Гиббс для нахождения экстремальных функций распределений физических ансамблей частиц. Впоследствии Э.Джейнсом был предложен формализм восстановления неизвестных законов распределения случайных величин при наличии ограничений из условий максимума энтропии Шеннона.

Константа де Брёйна — Ньюмана — математическая константа, обозначаемая Λ. Названа в честь Николаса Говерта де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана.

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

<span class="mw-page-title-main">Интеграл Дирихле</span>

В математике существует несколько интегралов, известных как интеграл Дирихле, названные в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле, один из которых является несобственным интегралом функции sinc по положительной действительной прямой:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.