Теорема Слешинского — Прингсхайма

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей.

История

Теорема была доказана в конце 19-го века независимо Иваном Слешинским^[1] и Альфредом Прингсхаймом.^[2]

Формулировка

Предположим, $a_{n}$ и $b_{n}$ — последовательности вещественных чисел такие, что $|b_{n}|\geqslant |a_{n}|+1$ для любого $n$ . Тогда цепная дробь

{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}

сходится абсолютно к некоторому вещественному числу в интервале $[0,1]$ ^[3].

Примечания

↑ Слешинскій, И. В. Дополненіе къ замѣткѣ о сходимости непрерывныхъ дробей (рус.) // Матем. сб. : журнал. — 1889. — Т. 14, № 3. — С. 436—438.
↑ Pringsheim, A. Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche (нем.) // Münch. Ber.. — 1898. — Т. 28. — С. 295—324.
↑ Lorentzen, L.; Waadeland, H. Continued Fractions: Convergence theory (неопр.). — Atlantic Press, 2008. — С. 129.

Похожие исследовательские статьи

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\text{[math]}$ комплексного переменного $\text{[math]}$ , при $\text{[math]}$ , определяемая с помощью ряда Дирихле:

\text{[math]}

Веще́ственное число́ — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Непрерывная дробь — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

\text{[math]}

Алгори́тм Евкли́да — эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Алгоритм назван в честь греческого математика Евклида, который впервые описал его в VII и X книгах «Начал». Это один из старейших численных алгоритмов, используемых в наше время.

$\text{[math]}$ — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число $\text{[math]}$ называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

<span class="mw-page-title-main">Рациональная функция</span> числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $\text{[math]}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или иногда просто $\text{[math]}$ , если основание $\text{[math]}$ подразумевается. Обычно число $\text{[math]}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Конструктивная математика — абстрактная наука о мыслительных конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных математических объектах. Является результатом развития конструктивного направления в математике — математического мировоззрения, которое в отличие от теоретико-множественного направления считает основной задачей математики исследование конструктивных процессов и конструктивных объектов.

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения, наиболее последовательным является следующее:

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: $\text{[math]}$

Постоя́нная Апери́ — вещественное число, обозначаемое $\text{[math]}$ , которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

\text{[math]}

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: $\text{[math]}$ , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа $\text{[math]}$ , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $\text{[math]}$ с рациональными коэффициентами $\text{[math]}$ . В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Теоре́ма Прингсхайма — утверждение комплексного анализа, дающее достаточные условия существования особой точки на границе круга сходимости степенного ряда; впервые сформулирована и доказана Альфредом Прингсхаймом. Согласно теореме, если коэффициенты ряда:

\text{[math]}

Говорят, что вещественное число имеет ограниченные неполные частные если при его разложении в цепную дробь неполные частные не принимают сколь угодно больших значений То есть цепная дробь

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.