Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
Теорема Фа́ри — теоретико-графовое утверждение о возможности выпрямить рёбра любого планарного графа. Иными словами, разрешение рисовать рёбра не в виде отрезков, а в виде кривых, не расширяет класс планарных графов.
Парке́т или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.
В теории графов графом гиперкуба Qn называется регулярный граф с 2n вершинами, 2n−1n рёбрами и n рёбрами, сходящимися в одной вершине. Его можно получить как одномерный скелет геометрического гиперкуба. Например, Q3 — это граф, образованный 8 вершинами и 12 рёбрами трёхмерного куба. Граф можно получить другим образом, отталкиваясь от семейства подмножеств множества с n элементами путём использования в качестве вершин все подмножества и соединением двух вершин ребром, если соответствующие множества отличаются только одним элементом.
Комбинаторика многогранников — это область математики, принадлежащая комбинаторике и комбинаторной геометрии и изучающая вопросы подсчёта и описания граней выпуклых многогранников.
Замощения евклидовой плоскости выпуклыми правильными многоугольниками широко использовался ещё с античных времён. Первое систематическое изложение было сделано Кеплером в его книге Harmonices Mundi.
Задача об иголке состоит в определении минимальной площади фигуры на плоскости, в которой единичный отрезок, «иглу», можно развернуть на 180 градусов, вернув его в исходное положение с обращённой ориентацией. Такое возможно проделать в круге радиуса 1/2. Другой пример — фигура, ограниченная дельтоидой, — показан на картинке, он имеет меньшую площадь.
Пифагорова мозаика — замощение евклидовой плоскости квадратами двух различных размеров, в которой каждый квадрат касается четырёх квадратов другого размера своими четырьмя сторонами. Исходя из этой мозаики, можно доказать (наглядно) теорему Пифагора, за что мозаика и получила название пифагоровой. Мозаика часто используется в качестве узора для кафельного пола. В этом контексте мозаика известна также как узор классов.
Гипотеза Келлера — выдвинутая Отт-Генрихом Келлером гипотеза о том, что в любой мозаике в евклидовом пространстве, состоящей из одинаковых гиперкубов, найдутся два куба, соприкасающиеся грань-к-грани. Например, как показано на рисунке, в любой мозаике на плоскости из одинаковых квадратов какие-то два квадрата должны соприкасаться ребро-к-ребру. Перрон доказал, что это верно в размерностях до 6; Бракензик с соавторами доказали верность гипотезы для размерности 7. Однако для бо́льших размерностей это неверно, как показали Лагариас и Шор для размерностей 10 и выше, Макей для размерностей 8 и выше, для чего использовали переформулировку задачи в терминах кликового числа некоторых графов, известных теперь как графы Келлера.
Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского.
Теорема де Брёйна — результат комбинаторной геометрии, согласно которому прямоугольные блоки, у которых длина каждой стороны кратна следующей меньшей длины стороны, могут быть упакованы только в прямоугольный блок («коробку»), размер сторон которого кратен сторонам кирпича.
Изоэдральный многогранник размерности 3 или выше — это многогранник, все грани которого одинаковы, также удовлетворяющий некоторым дополнительным ограничениям. Более точно, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны принадлежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела, которая переводит A в B. По этой причине правильные игральные кости имеют форму выпуклых изоэдральных многогранников.
Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плитками. Мозаика является одной из 15 известных равногранных пятиугольных мозаик.
Множество сумм — концепт аддитивной комбинаторики, соответствующий сумме Минковского конечных множеств.
L-функция Артина — это вид ряда Дирихле, связанный с представлением 
группы Галуа 
расширения числового поля. Эти функции были введены в 1923 Эмилем Артином, в связи с его работой в теории полей классов. Фундаментальные свойства этих функций, в частности гипотеза Артина, описанная ниже, оказались устойчивыми к легким доказательствам. Одной из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов является включение комплексно-аналитических L-функций Артина в более широкую теорию, которая будет вытекать из автоморфных форм и программы Ленглендса. До сих пор лишь небольшая часть такой теории была построена на прочной основе.
Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида.
