Теорема Хэйнсворта

Теорема Хэйнсворта — утверждение о свойствах дополнений Шура трех последовательно вложенных матриц.

Формулировка

Пусть $A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}$ , $B={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$ , $C=A_{11}$ - квадратные матрицы, причем матрицы $B$ и $C$ невырождены. Дополнение Шура матрицы $C$ в матрице $B$ $\left(B{\mathcal {j}}C\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ можно рассматривать как подматрицу матрицы $\left(A{\mathcal {j}}C\right)={\begin{pmatrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}-{A_{21} \choose A_{31}}A_{11}^{-1}(A_{12}A_{13})$ .

Тогда:

\left(A{\mathcal {j}}B\right)=\left(\left(A{\mathcal {j}}C\right){\mathcal {j}}\left(B{\mathcal {j}}C\right)\right)

Доказательство

Доказательство есть в книге ^[1].

Примечания

↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 32.

Литература

Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с.

Похожие исследовательские статьи

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

\text{[math]}

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

\text{[math]}

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних, находятся все переменные системы.

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица $\text{[math]}$ , коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

\text{[math]}

Алгоритм Штрассена предназначен для быстрого умножения матриц. Он был разработан Фолькером Штрассеном в 1969 году и является обобщением метода умножения Карацубы на матрицы.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

LU-разложение — представление матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения двух матриц, $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижняя треугольная матрица, а $\text{[math]}$ — верхняя треугольная матрица.

Спино́р — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности $\text{[math]}$ — это последовательность из $\text{[math]}$ векторов $\text{[math]}$ , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными ниже.

Пермане́нт в математике — числовая функция, определённая на множестве всех матриц; для квадратных матриц похожа на детерминант, и отличается от него лишь в том, что в разложении на перестановки берутся не чередующиеся знаки, а все плюсы. В отличие от детерминанта, определение перманента расширено и на неквадратные матрицы.

Спектральное разложение матрицы или разложение матрицы на основе собственных векторов — это представление квадратной матрицы $\text{[math]}$ в виде произведения трёх матриц $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ — диагональная матрица с соответствующими собственными значениями на главной диагонали, $\text{[math]}$ — матрица, обратная матрице $\text{[math]}$ .

Дополнение Шура — некоторая квадратная матрица, получающаяся при разбиении квадратной матрицы на четыре части.

Идемпотентная матрица — матрица, идемпотентная относительно умножения матриц, то есть, матрица $\text{[math]}$ , для которой выполняется условие $\text{[math]}$ .

Произведение Адамара — бинарная операция над двумя матрицами одинаковой размерности, результатом которой является матрица той же размерности, в которой каждый элемент с индексами $\text{[math]}$ — это произведение элементов с индексами $\text{[math]}$ исходных матриц. Операция названа в честь французского математика Жака Адамара и немецкого математика Исая Шура.

<span class="mw-page-title-main">Подгруппа Бореля</span>

Подгруппа Бореля алгебраической группы G — это максимальная замкнутая и связная разрешимая алгебраическая подгруппа. Например, в группе GL_n, подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является подгруппой Бореля.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Круги Гершгорина — набор кругов на комплексной плоскости, определяемых по квадратной матрице, таких, что все собственные значения данной матрицы заведомо лежат внутри каких-то из этих кругов. Таким образом, они позволяют получить априорное ограничение на расположение собственных значений квадратной матрицы. Впервые их описание было опубликовано советским математиком Семёном Ароновичем Гершгориным в 1931 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.