Теорема Эренфеста

Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы^[1]:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.

Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований^[2][3].

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle \ A}$ — квантовая наблюдаемая, ${\displaystyle \ H}$ — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты ${\displaystyle \ q}$ и импульса ${\displaystyle \ p}$ частицы описываются уравнениями

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle q\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle ,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial q}}\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle \ m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \ U(q)}$ — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.

• Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей, — М.: Наука, 1972. (Статья «Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики» стр. 82-84)
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с (параграф 32, стр. 130—133)
• Матвеев А. Н. Атомная физика, — М.: Высшая школа, 1989. — 439 с (стр. 124—126)
• Мессиа А. Квантовая механика. В 2-х томах / Под ред. Л.Д. Фадеева. Перевод с франц. В.Т. Хозяинова.. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — С. 307. (VI.2. стр.214-216)
• Борисов А. В. Основы квантовой механики Архивная копия от 8 марта 2007 на Wayback Machine, — Физический факультет МГУ, 1998 г. (Теоремы Эренфеста Архивная копия от 1 ноября 2006 на Wayback Machine)