Теорема о приведении матрицы к диагональной форме

Теорема о приведении матрицы к диагональной форме — утверждение о возможности приведения диагонализируемой вещественной квадратной матрицы к диагональному виду при помощи умножения на две вещественные ортогональные матрицы. Допускает обобщение на случай любой вещественной матрицы. Имеет большое значение в линейной алгебре и вычислительной математике.

Для диагонализируемой вещественной квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle n\times n}$ существуют две вещественные ортогональные ${\displaystyle n\times n}$ матрицы ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$, такие, что ${\displaystyle U^{T}AV}$ диагональная матрица ${\displaystyle D}$. При этом можно выбрать ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ так, чтобы диагональные элементы ${\displaystyle D}$ имели вид: ${\displaystyle \mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{r}>\mu _{r+1}=...=\mu _{n}=0}$, где ${\displaystyle r}$ - ранг матрицы ${\displaystyle A}$. В том случае, если ${\displaystyle A}$ невырожденна, ${\displaystyle \mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{n}>0}$^[1].

Для любой вещественной матрицы ${\displaystyle A}$ ранга ${\displaystyle r}$, имеющей ${\displaystyle n}$ строк и ${\displaystyle k}$ столбцов существуют вещественная ортогональная ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle U}$ и вещественная ортогональная ${\displaystyle k\times k}$ матрица${\displaystyle V}$, такие, что ${\displaystyle U^{T}AV}$ является ${\displaystyle n\times k}$ матрицей вида:

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\mu _{1}&0&\cdots &0\\0&\mu _{2}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle \mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{r}>0}$^[2].

• Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир, 1969. — 167 с.