Теорема о расщеплении

Теорема о расщеплении — классическая теорема в римановой геометрии.

Предположим, в полном римановом многообразии ${\displaystyle M}$ с неотрицательной кривизной Риччи имеется прямая, то есть геодезическая ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$, такая, что

${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=|u-v|}$

для всех

${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} .}$

Тогда ${\displaystyle M}$ изометрично произведению

${\displaystyle \mathbb {R} \times L,}$

где ${\displaystyle L}$ есть риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи.

Более того, можно показать, что ${\displaystyle \gamma (t)=(t,x)}$ для некоторого ${\displaystyle x\in L}$.

Для поверхностей теорема была доказана Кон-Фоссеном.^[1] Топоногов обобщил её на многообразия с неотрицательной секционной кривизной.^[2]Чигер^[англ.] и Громолл^[англ.] доказали, что неотрицательность кривизны Риччи является достаточным условием.^[3]

Позже аналогичная теорема была доказана для лоренцевых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи во времениподобных направлениях.^[4][5][6]