Теорема о свёртке гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.
Функции непрерывной переменной
Рассмотрим две функции
и
с соответствующими преобразованиями Фурье
и
:

где
обозначает оператор преобразования Фурье. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно
или
) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка
и
определяется как:

В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения
.
Теорема о свёртке утверждает, что[1][2]:ур.8:

| | (Ур. 1a) |
Применение обратного преобразования Фурье
даёт следствие[2]:ур.7,10:
Теорема о свёртке где обозначает поточечное произведение
|
| | (Ур. 1b) |
Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.
Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных
Рассмотрим функции
в Lp-пространстве
и преобразования Фурье
:

где
обозначает скалярное произведение в
:
и 
Свёртка
и
определяется как:

Также:

Отсюда по теореме Фубини следует, что
. Поэтому его преобразование Фурье
определяется интегральной формулой:

Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):

Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа, двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об инверсии Меллина[англ.]). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.
Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье)
Рассмотрим
-периодическую функцию
и
, которые могут быть выражены как периодические суммы:
и 
На практике ненулевая часть компонентов
и
часто ограничивается продолжительностью
, но ничто в теореме этого не требует.
Коэффициенты ряда Фурье:
![{\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{интегрирование по любому интервалу длины }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fa35e3c15506e18c860ec089e2fa9cd4a24b64)
где
обозначает интеграл ряда Фурье.
- Поточечное произведение
также
-периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой
и
: - Свёртка:

также Р-периодична и называется периодической свёрткой.
Вывод периодической свёртки
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}+kP}^{x_{o}+(k+1)P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \right]\quad x_{0}{\text{ — произвольный параметр}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}\underbrace {u_{_{P}}(x-\tau -kP)} _{u_{_{P}}(x-\tau ),{\text{ по периодичности}}}\cdot v(\tau +kP)\ d\tau \right]\quad {\text{замена }}\tau \rightarrow \tau +kP\\&=\int _{x_{o}}^{x_{o}+P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot \underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }v(\tau +kP)\right]} _{\triangleq \ v_{_{P}}(\tau )}\ d\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdd5f9f1459ec698c80058979f6ee38e695cc95)
Соответствующая теорема свёртки имеет вид:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]=\ P\cdot U[k]\ V[k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4ee3375f365aa800cc34e56a6bf89e0a90ed3b)
| | (Ур. 2) |
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{u_{_{P}}*v\}[k]&\triangleq {\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\cdot v_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{V[k],{\text{ по периодичности}}}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{P}\ u_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P\cdot U[k]}\ V[k].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8e39c83303c2d764e72fb1f948623599494b27)
Функции дискретной переменной (последовательности)
Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ)[англ.]. Рассмотрим две последовательности
и
с преобразованиями
и
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244dd8c93040378c9c8849ab6483c6582445d1b7)
Дискретная свёртка
и
определяется:
![{\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aac1f7102502f6b39153be6aacd9bce5fc7cdd)
Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид[3][4]:с.60 (2.169):

| | (Ур. 3) |
Периодическая свёртка
и
, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим
-периодические последовательности
и
:
и ![{\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3cb372f16be04589aa1f446455da9d8bcd8f0)
Эти функции возникают в результате выборки
и
с интервалом в
и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bea3497885b9359f8a5316fd0eb52b4ad4017a)
она также является
-периодической и называется периодической свёрткой. Переопределим оператор
как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид[5][4]:с. 548:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{N}}*v\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}[k]} _{U(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}[k]} _{V(k/N)},\quad k\in \mathbb {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf1eab2ab63c1b6db4fc8f33c8a4a30b1391f50)
| | (Ур. 4a) |
И следовательно:
![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{v_{_{N}}\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd918e288950dc7554d3cb3e478d441022b16afc)
| | (Ур. 4b) |
При соответствующих условиях возможно, что
-значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки
. Но когда ненулевая часть
или
последовательности равна или длиннее, чем
, неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта[A].
Для последовательностей
и
, ненулевая длина которых меньше или равна
, окончательное упрощение имеет вид:
Периодическая свёртка ![{\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac7a801e261a01f897517049a2095ee7d745cf6)
|
| | (Ур. 4c) |
Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано[6], что любое линейное преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).
Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье
Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «
» представляет собой произведение Адамара, а «
» представляет свёртку двух матриц.

так что

Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста
Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:

Но
должно «быстро убывать» по направлению к
и
, чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если
— гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует существование как умножения, так и произведения свёрток[7][8][9].
В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция, является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые функции, такие как функция, которая постоянно равна
, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например,
является гребнем Дирака, то оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона[англ.], и если, кроме того,
является дельта-функцией, то
постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.
Замечания
Примечания
- ↑ McGillem, Clare D. Continuous and Discrete Signal and System Analysis / Clare D. McGillem, George R. Cooper. — 2. — Holt, Rinehart and Winston, 1984. — P. 118 (3–102). — ISBN 0-03-061703-0.
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Convolution Theorem (англ.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 13 апреля 2024. Архивировано 11 июля 2000 года.
- ↑ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (англ.) (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
- ↑ 1 2 Oppenheim, Alan V. Discrete-time signal processing / Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck. — 2nd. — Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-754920-2.
- ↑ Rabiner, Lawrence R. Theory and application of digital signal processing / Lawrence R. Rabiner, Bernard Gold. — Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, Inc., 1975. — P. 59 (2.163). — ISBN 978-0139141010.
- ↑ Amiot, Emmanuel. Music through Fourier Space. — Zürich : Springer, 2016. — P. 8. — ISBN 978-3-319-45581-5. — doi:10.1007/978-3-319-45581-5. Архивная копия от 3 июня 2023 на Wayback Machine
- ↑ Horváth, John. Topological Vector Spaces and Distributions. — Reading, MA : Addison-Wesley Publishing Company, 1966.
- ↑ Barros-Neto, José. An Introduction to the Theory of Distributions. — New York, NY : Dekker, 1973.
- ↑ Petersen, Bent E. Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. — Boston, MA : Pitman Publishing, 1983.
Литература
- Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
- Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference, New York: Springer, pp. 295—327, ISBN 978-1-4939-9759-6
- Crutchfield, Steve (October 9, 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, Дата обращения: 19 ноября 2010