Теорема о частном

Теорема о частном — утверждение о том, что если результат умножения вектора на величину с произвольным числом верхних и нижних индексов является тензором для любого вектора, то величина с верхними и нижними индексами является тензором.

Пусть величина ${\displaystyle P_{\lambda \mu \nu }}$ такова, что для любого вектора ${\displaystyle A^{\nu }}$ величина ${\displaystyle A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }}$ является тензором. В этом случае величина ${\displaystyle P_{\lambda \mu \nu }}$ является тензором.

Рассмотрим преобразование от старой криволинейной системы координат, где вектор имеет координаты ${\displaystyle x^{\mu }}$ к новой системе координат, где этот же вектор имеет координаты ${\displaystyle x^{\mu '}}$. Условимся обозначать ${\displaystyle {\frac {\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}}=x_{,\nu }^{\mu '}}$. Обозначим величину ${\displaystyle Q_{\mu \nu }=A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }}$. По условию, ${\displaystyle Q_{\mu \nu }}$ есть тензор, поэтому ${\displaystyle Q_{\beta \gamma }=Q_{\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}}$. Тогда ${\displaystyle A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\gamma '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}}$. Так как ${\displaystyle A^{\lambda }}$ является вектором, по правилам преобразования векторов имеем: ${\displaystyle A^{\lambda '}=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}}$. Таким образом: ${\displaystyle A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}}$ Это равенство должно быть верным для всех ${\displaystyle A^{\alpha }}$, следовательно ${\displaystyle P_{\alpha \beta \gamma }=P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\alpha }^{\lambda '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}}$. Величина ${\displaystyle P_{\alpha \beta \gamma }}$ является тензором. Доказательство нетрудно обобщить на любое число верхних и нижних индексов^[1].

• Дирак П.А.М. Общая теория относительности. — М.: Атомиздат, 1978. — 64 с.