Теорема полноты

Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике^[1].

Любую функцию ${\displaystyle F(h)}$ на конечной группе ${\displaystyle G}$ можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:

${\displaystyle F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _{mn}^{(i)}(h)}$,

здесь: ${\displaystyle \sigma }$ - общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle s_{i}}$ - число векторов канонического базиса ${\displaystyle i}$ - го неприводимого представления, ${\displaystyle \tau _{mn}^{(i)}}$ - элементы матрицы ${\displaystyle i}$ - го неприводимого представления.

Зададим регулярное представление ${\displaystyle T}$ на группе ${\displaystyle G}$ при помощи оператора ${\displaystyle T(g)}$, действующего в пространстве ${\displaystyle \Phi }$ функций на группе и определенного соотношением

${\displaystyle T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv \phi (hg)}$ (1),

где ${\displaystyle \phi (h)}$ - произвольная функция на группе.

Оператор ${\displaystyle T(g)}$ задаёт представление ${\displaystyle T}$ группы ${\displaystyle G}$ в пространстве ${\displaystyle \Phi }$, так как ${\displaystyle T(e)=E}$ и ${\displaystyle T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})}$ в силу ${\displaystyle T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\phi (h)}$.

Пространство ${\displaystyle \Phi }$ можно представить в виде суммы подпространств:

${\displaystyle \Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )}}$

вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление ${\displaystyle T}$ является суммой неприводимых представлений. Здесь ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha }}$ - подпространства, преобразующиеся под действием оператора ${\displaystyle T(g)}$ по неприводимому представлению ${\displaystyle \tau _{\alpha }}$, ${\displaystyle m_{\alpha }}$ - целое число, означающее число вхождений представления ${\displaystyle \tau _{\alpha }}$ в регулярное представление ${\displaystyle T}$.

Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )}}$ существует канонический базис, совокупность функций ${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha }}$, преобразующихся под действием операторов ${\displaystyle T(g)}$ как:

${\displaystyle T(g)\phi _{j}^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{\alpha m}(h)}$ (2)

Базис в пространстве ${\displaystyle \Phi }$ можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты ${\displaystyle C_{j}^{\alpha m}}$. В результате получим:

${\displaystyle F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{\alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)}}$ (3)

Для завершения доказательства определим функции ${\displaystyle \phi _{j}^{(\alpha m)}}$. Из формул (1, 2) получаем:

${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(h)}$

Положим в этой формуле ${\displaystyle h=e}$. Формула примет вид:

${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(e)}$

Таким образом, всякая функция ${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(g)}$ раскладывается в ряд по матричным элементам ${\displaystyle \tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha }}$. Из равенства (3) следует, что и произвольная функция ${\displaystyle F(h)}$ обладает таким же свойством^[2].

• Коэффициенты Фурье

• Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.