Теорема схем

Теорема схем, или теорема шаблонов — основная теорема теории генетических алгоритмов, дающая обоснование их эффективности. Впервые сформулирована и доказана Дж. Холландом в 1975 году.

Схемой называется подмножество множества всех возможных генотипов, возможных в данной популяции, заданное в виде хромосомы с фиксированными значениями некоторых битов. Остальные биты могут принимать любые значения, образуя примеры схемы. Так, примерами схемы 00**1* являются хромосомы 000010, 000011, 000110, 000111, 001010, 001011, 001110 и 001111. Количество фиксированных битов называется порядком схемы, а расстояние между крайними фиксированными позициями (т.е. разность их номеров) — её определяющей длиной. Порядок вышеприведённой схемы равен 3, а определяющая длина 5 - 1 = 4. Функция пригодности (ФП) схемы — это среднее значение функции пригодности всех её примеров.

Теорема схем показывает происходящее при смене поколений экспоненциальное распространение хорошо приспособленных схем с малыми порядком и определяющей длиной (такие схемы с ФП выше, чем в среднем по популяции, называют строительными блоками). Математически это выражается неравенством:

${\displaystyle N(h,t+1)\geq N(h,t){f(h,t) \over f(t)}[1-p].}$

Здесь ${\displaystyle N(h,t)}$ — количество примеров схемы h на шаге t, а ${\displaystyle N(h,t+1)}$ — то же на следующем шаге; ${\displaystyle f(h,t)}$ — функция пригодности схемы на шаге t; ${\displaystyle f(t)}$ — среднее значение ФП по всей популяции на том же шаге; ${\displaystyle p}$ — вероятность уничтожения схемы под действием генетических операторов. Эта вероятность равна:

${\displaystyle p={\delta (h) \over l-1}p_{c}+o(h)p_{m},}$

где ${\displaystyle \delta (h)}$ — определяющая длина схемы, ${\displaystyle o(h)}$ — порядок, ${\displaystyle p_{c}}$ — вероятность скрещивания, а ${\displaystyle p_{m}}$ — вероятность мутации. Таким образом, полная форма записи теоремы выглядит так:

${\displaystyle N(h,t+1)\geq N(h,t){f(h,t) \over f(t)}[1-{\delta (h) \over l-1}p_{c}-o(h)p_{m}].}$

Теорема схем не даёт точных значений, а лишь нижнюю оценку количества примеров схемы после очередной смены поколений. Это вызвано тем, что есть вероятность возникновения новых примеров схемы при действии генетических операторов на хромосомы, не имевшие ранее к ней отношения.

• Генетический алгоритм

• J. H. Holland. Adaptation in Natural and Artificial Systems. The MIT Press, reprint edition, 1992.
• Liles W. C. Introduction to Schema Theory : A survey lecture of pessimistic & exact schema theory / W. C. Liles, Wiegand R. P. - 2002 Summer Lecture Series, EC lab Activities, Computer Science Department, George Mason University. текст лекции слайды к лекции