Теорема унитарности

Теорема унитарности (англ. Unitarity theorem) — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике^[1].

Формулировка

Для всякого представления $T$ конечной группы $G$ , определённого в конечномерном пространстве $L$ , можно определить скалярное произведение для любых векторов $x,y\in L$ в этом пространстве $(x,y)$ таким образом, чтобы все операторы $T(g),g\in G$ были унитарными, то есть чтобы для всех $x,y\in L,g\in G$ выполнялось равенство: $(T(g)x,T(g)y)=(x,y)$ .

Доказательство

Определим в пространстве $L$ новое скалярное произведение: $(x,y)_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$ . Здесь $N$ — число элементов конечной группы $G$ . Покажем, что все операторы $T(g),g\in G$ унитарны относительно этого скалярного произведения: $(T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}$ . Имеем: $(T(g)x,T(g)y)_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)T(g)x,T(h)T(g)y)={\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$ . Когда элемент $h$ по одному разу пробегает все элементы группы $G$ , то произведение $hg$ при фиксированном $g$ тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы ${\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$ и ${\frac {1}{N}}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$ отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество $(T(g)x,T(g)y)_{0}=(x,y)_{0}$ доказано, следовательно, доказана теорема унитарности^[2].

Следствия

Если $L_{1}$ — инвариантное относительно представления $T$ подпростанство, то ортогональное к нему подпространство $L_{2}\subset L$ тоже инвариантно относительно представления $T$ ^[3].
Если $\tau$ — неприводимое представление конечной группы, то пространство $L$ не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления $\tau$ ^[4].

Литература

Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.

Похожие исследовательские статьи

Евкли́дово простра́нство в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность и полное по метрике, порождённой скалярным произведением. Названо в честь Давида Гильберта.

Лине́йное отображе́ние — обобщение линейной числовой функции на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. На языке КТП основываются физика высоких энергий и физика элементарных частиц, её математический аппарат используется в физике конденсированного состояния. КТП в виде Стандартной модели в настоящее время является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описывать и предсказывать результаты экспериментов при достижимых в современных ускорителях высоких энергиях.

Преобразование Фурье́ — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные преобразования векторного псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины $\text{[math]}$ .

В математике оператор $\text{[math]}$ в комплексном или действительном гильбертовом пространстве $\text{[math]}$ называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству $\text{[math]}$ для всех $\text{[math]}$ из области определения $\text{[math]}$ . Здесь и далее полагается, что $\text{[math]}$ — скалярное произведение в $\text{[math]}$ . Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Ковариа́ция или корреляционный момент $\text{[math]}$ случайных величин — в теории вероятностей и математической статистике мера зависимости двух случайных величин.

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Спонта́нное наруше́ние симме́три́и — способ нарушения симметрии физической системы, при котором исходное состояние и уравнения движения системы инвариантны относительно некоторых преобразований симметрии, но в процессе эволюции система переходит в состояние, для которого инвариантность относительно некоторых преобразований начальной симметрии нарушается. Спонтанное нарушение симметрии всегда связано с вырождением состояния с минимальной энергией, называемого вакуумом. Множество всех вакуумов имеет начальную симметрию, однако каждый вакуум в отдельности — нет. Например, шарик в жёлобе с двумя ямами скатывается из неустойчивого симметричного состояния в устойчивое состояние с минимальной энергией либо влево, либо вправо, разрушая при этом симметрию относительно изменения левого на правое.

Пропагатор в квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля от одного акта взаимодействия до другого. Эта функция определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места пространства в другое за заданный промежуток времени или перемещения частицы с определённой энергией и импульсом. Для расчёта частоты столкновений в КТП используются виртуальные частицы, представленные в диаграммах Фейнмана пропагаторами, вносят свой вклад в вероятность рассеяния, описываемого соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как оператор, обратный волновому оператору, соответствующему частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина.

Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве или, что то же самое, гладкий гомоморфизм группы Ли в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Играет важную роль в изучении непрерывной симметрии в математике и теоретической физике. Представления групп Ли изучены довольно хорошо, основным инструментом их изучения является использование соответствующих «инфинитезимальных» представлений алгебр Ли.

Симметрии в квантовой механике — преобразования пространства-времени и частиц, которые оставляют неизменными уравнения квантовой механики. Рассматриваются во многих разделах квантовой механики, которые включают релятивистскую квантовую механику, квантовую теорию поля, стандартную модель и физику конденсированного состояния. В целом, симметрия в физике, законы инвариантности и сохранения являются основополагающими ограничениями для формулирования физических теорий и моделей. На практике это мощные методы решения задач и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают конечное решение проблемы, но они формируют правильные ограничения и наметки к решению множества задач.

Теория представлений группы Галилея — в нерелятивистской квантовой механике раскрывает глубокую роль массы и спина в свойствах группы симметрий пространства-времени. В релятивистской механике аналогичную роль играет классификация Вигнера.

Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.