Теория Гинзбурга — Ландау

Теория Гинзбурга — Ландау (также теория Гинзбурга — Ландау — Абрикосова — Горькова или ГЛАГ-теория^[1]) — созданная в начале 1950-х годов В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау феноменологическая теория сверхпроводимости.

Теория построена исходя из следующего вида лагранжиана:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi \nabla \psi ^{\star }+\alpha |\psi |^{2}+\beta |\psi |^{4}}$,

где ${\displaystyle \psi }$ — комплексное поле пар Купера, ${\displaystyle \nabla }$ — оператор ковариантного дифференцирования относительно электромагнитного потенциала ${\displaystyle \mathbf {A} }$, а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — эмпирические постоянные.

Функционал свободной энергии имеет вид:

${\displaystyle F=F_{n}+\int {\biggl \{}\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m}}\left|\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{2\mu _{0}}}{\biggr \}}dV}$

где ${\displaystyle F_{n}}$ — свободная энергия в нормальной фазе, а ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — магнитное поле.

Варьируя этот функционал по ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \mathbf {A} }$, мы приходим к уравнениям Гинзбурга — Ландау:

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0,}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {2e}{m}}\left(\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -2e\mathbf {A} \right)\psi \right),}$

где ${\displaystyle \mathbf {J} }$ — электрический ток.

Уравнения Гинзбурга — Ландау ведут ко многим интересным выводам. Одним из них является существование двух характерных длин в сверхпроводниках. Первая — это длина когерентности ${\displaystyle \xi }$:

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}},}$

которая описывает термодинамические флуктуации в сверхпроводящей фазе.

И вторая — глубина проникновения магнитного поля ${\displaystyle \lambda }$:

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}},}$

где ${\displaystyle \psi _{0}}$ — это равновесное значение функции состояния в отсутствие электромагнитного поля.

Отношение ${\displaystyle \varkappa =\lambda /\xi }$ называют параметром Гинзбурга — Ландау. Известно, что у сверхпроводников I типа ${\displaystyle \varkappa <1/{\sqrt {2}}}$, а у сверхпроводников II типа ${\displaystyle \varkappa >1/{\sqrt {2}}}$. Это было подтверждено теорией Гинзбурга — Ландау.

Одним из самых важных следствий теории Гинзбурга — Ландау являлось нахождение вихрей Абрикосова в сверхпроводниках II типа, находящихся в сильном магнитном поле.

Коэффициенты в уравнении Гинзбурга — Ландау были в 1959 году вычислены Л. П. Горьковым на основе микроскопической теории сверхпроводимости.

• Гинзбург, В. Л. и Ландау, Л. Д. К теории сверхпроводимости (рус.) // ЖЭТФ. — 1950. — Т. 20. — С. 1064.
• Абрикосов, А. А. On the Magnetic Properties of Superconductors of the Second Group // ЖЭТФ. — 1957. — Т. 32, № 6. — С. 1442.
• Горьков, Л. П.  // ЖЭТФ. — 1959. — Т. 36. — С. 1364.
• Максимов, Е. Г. О Гинзбурге — Ландау и немного о других (рус.) // УФН. — 2010. — Т. 180. — С. 1231—1237.