Теория Лифшица

Теория Лифшица является общей теорией флуктуационных сил Ван-дер-Ваальса и Казимира. Основным результатом теории является формула для свободной энергии электромагнитного поля, которая позволяет получить давление, возникающее между материальными поверхностями из-за действия флуктуационных сил. В теории Лифшица среда классическая, а электромагнитное поле — квантовое. Теория разработана советским физиком Евгением Михайловичем Лифшицем в 1956 году.

Энергия как функция от расстояния между двумя одинаковыми плоскопараллельными пластинами:

${\displaystyle E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}}$,

(1)

где ${\displaystyle q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2}}$. Здесь ${\displaystyle k_{\perp }}$ — проекция волнового вектора электромагнитного поля на плоскость поверхности пластин, ${\displaystyle \xi }$ — мнимая частота, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка. Свойства материалов учитываются через коэффициенты отражения — ${\displaystyle r_{\textrm {TE}}}$ и ${\displaystyle r_{\textrm {TM}}}$. Коэффициенты отражения задаются формулами Френеля:

${\displaystyle r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })}},\quad r_{\textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })}},}$

(2)

где ${\displaystyle k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/c^{2}}$.

Давление как функция от расстояния между двумя одинаковыми плоскопараллельными пластинами:

${\displaystyle P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}}$.

(3)

Используемые обозначения описаны выше.

Свободная энергия как функция от температуры и расстояния между двумя разными плоскопараллельными пластинами:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}}$,

(4)

здесь штрих у знака суммы обозначает множитель ${\displaystyle 1/2}$ у нулевого члена ряда, индекс 1 и 2 у коэффициентов отражения обозначают первую и вторую пластины соответственно, ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^{2}/c^{2}}$, а ${\displaystyle \xi _{l}}$ — частоты Мацубары, которые заданы выражением

${\displaystyle \xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l}$.

(5)

Давление как функция от температуры и расстояния между двумя разными плоскопараллельными пластинами:

${\displaystyle P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}+\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}\right\}}$.

(6)

Используемые обозначения описаны выше.

• Эффект Казимира
• Силы Ван-дер-Ваальса
• Евгений Михайлович Лифшиц

• M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. Advances in the Casimir Effect. — 2009.