Тест Харке — Бера

Тест Ха́рке—Бе́ра (англ. Jarque-Bera test) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения, у которого ${\displaystyle S=0}$, ${\displaystyle K=3}$.

В тесте Харке—Бера проверяется нулевая гипотеза ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\colon S=0,\ K=3}$ против гипотезы ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\colon S\neq 0,\ K\neq 3}$, где ${\displaystyle S}$ — коэффициент асимметрии (Skewness), ${\displaystyle K}$ — коэффициент эксцесса (Kurtosis)

Тест выглядит следующим образом:

${\displaystyle JB=n\left({\frac {S^{2}}{6}}+{\frac {(K-3)^{2}}{24}}\right)}$, где ${\displaystyle S={\frac {\sum e_{i}^{3}}{n{\hat {\sigma }}_{ML}^{3}}}}$, ${\displaystyle K={\frac {\sum e_{i}^{4}}{n{\hat {\sigma }}_{ML}^{4}}}}$, ${\displaystyle e_{i}}$ — остатки модели, ${\displaystyle n}$ — количество наблюдений, ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ML}^{2}={\frac {\sum e_{i}^{2}}{n}}}$, ML — обозначение метода максимального правдоподобия (Maximal Likelihood). Данная статистика имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы (${\displaystyle \chi _{2}^{2}}$), поскольку коэффициенты ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle K}$ асимптотически нормальны, следовательно, их квадраты при нормировке дадут две случайные величины, распределённые как ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$. Чем ближе распределение ошибок к нормальному, тем меньше статистика Харке—Бера отличается от нуля. При достаточно большом значении статистики p-value будет мало, и тогда будет основание отвергнуть нулевую гипотезу (статистика попала в «хвост» распределения).

Тест Харке—Бера является асимптотическим тестом, то есть применим к большим выборкам. Если ошибки распределены нормально, то в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова оценки метода наименьших квадратов будут лучшими (иметь наименьшую дисперсию в классе линейных несмещённых оценок), и коэффициенты регрессии будут также распределены асимптотически нормально.

• Damodar N. Gujarati. Basic Econometrics. — 4. — The McGraw-Hill Companies, 2004. — С. 1002. — ISBN 978-0071123433.