Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние  — функция, переводящая аргумент в себя. Обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathrm {id} }$ или ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$. При этом ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

В логике используются термины тождественность и идентичность. Логическим результатом функции идентичности является тавтология.

• Для произвольной функции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ её композиция с тождественным отображением не отличается от неё самой: 

• ${\displaystyle F\circ \mathrm {id} _{X}=F}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}$.

В частности, ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ является нейтральным элементом моноида, образованного отображениями из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$, а также нейтральным элементом симметрической группы перестановок множества ${\displaystyle X}$.

• Композиция биекции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ со своей обратной функцией ${\displaystyle F^{-1}}$ даёт тождественные отображения:
  • ${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$,
  • ${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}}$.

• В логике, идентичность является обратной функцией отрицания.

• Лекции по дискретной математике/ М. Вялый, В. Подольский, А. Рубцов, Д. Шварц, А. Шень Лекции по дискретной математике; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики».