Тождество (математика)

То́ждество (в математике) — равенство двух выражений, выполняющееся на всём множестве допустимых значений, входящих в эти выражения переменных^[1]. Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается вместо знака равенства символом «≡», который ввёл немецкий математик Бернхард Риман в 1857 году.

Примеры:

${\displaystyle a^{2}-b^{2}\equiv (a+b)(a-b)}$

${\displaystyle (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}}$

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; например: ${\displaystyle 25^{2}\equiv 625.}$

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство ${\displaystyle x+2=5}$ имеет место не при всяком значении ${\displaystyle x}$, а только при ${\displaystyle x=3}$. Поэтому оно не является тождеством. Кроме того, равенство может выполняться, например, при положительных значениях переменных и не выполняться (или не иметь смысла) при отрицательных, см. об этом следующий раздел.

В тех случаях, когда тождество выполняется не для всех возможных значений переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

• выражение ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{a}}\equiv a}$ тождественно при ${\displaystyle a\neq 0}$.
• выражение ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\equiv {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
• выражение ${\displaystyle a^{2}-b^{2}\equiv (a+b)(a-b)}$ тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: ${\displaystyle ab\neq ba}$.

• Логарифмические тождества
• Отношение эквивалентности
• Список математических тождеств
• Уравнение

• Тождество // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 291. — 352 с. — ISBN 5715502187.