Точка конденсации

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества $A$ в топологическом пространстве $X$ точка $x\in X$ называется точкой конденсации, если во всякой окрестности $x$ содержится несчётное множество точек множества $A$ .

Множество точек конденсации множества $A$ — $A^{\circ }$ — замкнуто, более того, если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума. Множество точек конденсации замыкания множества совпадает с множеством точек конденсации самого множества: ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ . Объединение множеств точек конденсации двух множеств совпадает со множеством точек конденсации объединения исходных множеств: $(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$ . Для множества $A$ в пространстве $X$ со второй аксиомой счётности $A\setminus A^{\circ }$ счётно и $(A^{\circ })^{\circ }=A$ . Из последних двух свойств непосредственно следует теорема Кантора — Бендиксона в общетопологическом варианте (изначально доказанная для подмножеств числовой прямой).

У подмножества числовой все предельные точки являются точками конденсации; каждая точка канторова дисконтинуума является его точкой конденсации. У счётного множества точек конденсации быть не может (при этом предельные точки могут существовать, например, предельными для счётного множества рациональных чисел $\mathbb {Q}$ являются все точки числовой прямой).

Для подпространств евклидовых пространств точки конденсации определил и изучил в 1903 году Эрнст Линделёф, в 1914 году Феликс Хаусдорф распространил понятие на общие топологические пространства.

Литература

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 104, 143, 159—160. — 368 с.
Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 102. — 752 с.
Точка конденсации — статья из Математической энциклопедии. Б. А. Ефимов

Похожие исследовательские статьи

Топологи́ческое простра́нство — множество, для элементов которого определено, какие из них близки друг к другу. Является центральным понятием общей топологии.

Непреры́вное отображе́ние — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, используемых в общей топологии. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Лине́йно свя́зное простра́нство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Например, внутренность шара является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

База топологии — семейство открытых подмножеств топологического пространства $\text{[math]}$ , такое, что любое открытое множество в $\text{[math]}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Прямое произведение — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» произведение двух множеств ввёл Георг Кантор.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Свя́зное двоето́чие — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.