Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с , выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на , является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.
При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от до , верны формулы
, и .
Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла формула для /3 может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:
Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).
Таблица значений синуса и косинуса углов с градусной мерой, кратной трём (от 0 до 45°).
Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от до , элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефлиправильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.
Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n
Приведены только формулы, не использующие корней степени больше . Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.
В некоторых случаях ниже используются два числа , обладающие таким свойством, что .
Доказательство
Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для (n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексныекорни из 1. При этом сами косинус и синус равны и соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра:
если — модуль, а — аргумент комплексного числа, то все корни целой степени от выражаются числами где пробегает множество целых чисел
В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы):
Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.
При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином sφ(n)(x) надо разделить на xφ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.
Полином раскладывается на круговые множители и у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:
(канонический вид).
В итоге в совокупности с уравнением получается, что
Вместо того, чтобы решать уравнение как квадратное, симметричный многочлен можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:
Пример 2: n = 5
Круговой полином равен и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x2, сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:
(искомый косинус, умноженный на 2),
Пример 3: n = 7
Условные обозначения. Обозначим как
Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме
Проведя с круговым многочленом преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:
Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную () на сумму :
а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе множитель надо приравнять нулю. В таком случае и (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:
а с учётом главных значений кубических корней получается:
где
где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.
Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла иначе появятся квадраты чисел и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны
где
Пример 4: n = 32 = 9
Условное обозначение. Обозначим как
Число 9 раскладывается на простые множители как 32, так что многочлен можно разложить на круговые множители как Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена ), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны
где
Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как
Пример 5: n = 2 · 7 = 14
Условное обозначение:
У полинома круговые множители таковы:
(круговой полином для 1-й степени);
(круговой полином для 2-й степени);
(для 7-й степени);
(для 14-й степени).
Корни полинома точно противоположны корням полинома (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так:
где
Пример 6: n = 3 · 5 = 15
Круговой многочлен не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол (o — целое число) как сумму где o1 и o2 — некоторые целые числа.
Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от угол не всегда можно разложить в виде (o, o1 и o2 — целые числа).
Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:
Например, если o = 1, то в качестве o1 и o2 можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда
Пример 7: n = 17
Шаг 1
Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином поделить на x8 и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим
Условное обозначение. Обозначим корни многочлена как
Корни полинома лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S1 и S2, найти S1 + S2 и S1S2 и по теореме Виета вывести для S1 и S2 уравнение, решив которое и получим S1 и S2.
Если поточнее, корни полинома нужно распределять по степеням двойки:
Сумма S1 + S2 равна сумме всех корней а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения
(по формуле косинуса произведения)
Тогда получается квадратное уравнение с корнями причём они распределяются так:
Шаг 3
Слагаемые, заключённые в S1 и S2, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:
Сумма (где m пробегает множество {1, 2}) равна а произведение (по той же формуле ) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение для T:
Шаг 4
Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел bo/17). Суммы равны:
а соответствующие произведения:
Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:
или —
или —
—
—
где .
Пример 8: n = 13
Нужно круговой полином поделить на x6 и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином Между 7-м примером (n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов (который соответствует n = 13) и (n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома нужно найти по тому же принципу, какой был в 7-м примере: причём здесь нужно сначала вывести и решить квадратное уравнение, а лишь потом — кубическое.
Условное обозначение. Обозначим корни полинома как
Шаг 1
Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S1, S2 и по степеням тройки:
и вычислим следующие величины с помощью тождества
получив уравнение , решив которое получаем:
Шаг 2
S1 и S2 известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b. Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S1. Тогда нужно найти следующие величины:
чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S1, включить корни, входящие в S2, — в результате получится уравнение .
Шаг 3 — приведение к канонической форме
(каноническая форма)
(чтобы в ответе знаменатель сразу был вынесен из-под корня).
Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = 180°/n, b =90(1 − 2/n)°
Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.
Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:
Центр многоугольника
Вершина многоугольника
Середина стороны, содержащей эту вершину
Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами 180/n, 90 − 180/n, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.
Можно построить при помощи циркуля и линейки
Правильные 3 × 2n-угольники, где n = 0, 1, 2, 3, …
Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)
Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не могут быть выведены.
Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F3=223+1=28+1=257; F4=224+1=216+1=65537), кратные чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.
D = 232 — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin(/D) и cos (/D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -
;
;
Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -
;
;
И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило по индукции, получаем -
;
;
Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).
что равно обратному числу 1/φ по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,
А значит,
(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(a/b). Но AX + XC = AC, а значит, a + a2/b = b. Решив полученное, имеем, что a/b = 1/φ, как и получено ранее).
Точно так же
а значит,
Алгебраический метод
Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, .
Далее, , что значит
Следовательно,
и и
и
Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:
Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y2.
Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
что мы рассматриваем как:
n × /20
9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.
n × /30
6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.
n × /60
3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.
Способы упрощения выражений
Рационализация знаменателя
Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1: .
В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида , где q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число:
В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
Дано число Обратная к нему величина, умноженная на 2, является корнем многочлена (это было показано выше). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена , и в итоге
Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей
Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня
Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.
↑ 12Bradie, Brian. Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach (англ.) // The College Mathematics Journal[англ.] : magazine. — 2002. — September (vol. 33, no. 4). — P. 318—319. — doi:10.2307/1559057. — JSTOR1559057.
Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Evaluation of quantum mechanical perturbation sums in terms of quadratic surds and their use in approximation of ζ(3)/3 (англ.) // Int. J. Quantum Chem.[англ.] : journal. — 2002. — Vol. 90, no. 1. — P. 42—53. — doi:10.1002/qua.1803.
Conway, John H.; Radin, Charles[англ.]; Sadun, Lorenzo. On angles whose squared trigonometric functions are rational (англ.) // Disc. And Comp. Geom. : journal. — 1999. — Vol. 22, no. 3. — P. 321—332. — doi:10.1007/PL00009463. — arXiv:math-ph/9812019.
Girstmair, Kurt. Some linear relations between values of trigonometric functions at k/n (англ.) // Acta Arithmetica[англ.] : journal. — 1997. — Vol. 81, no. 4. — P. 387—398. — doi:10.4064/aa-81-4-387-398.
Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии для вычисления одних элементов треугольника по данным о других его элементах.
Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.
Трактри́са — — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной. Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.
Ниже приведён список интегралов от тригонометрических функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.
Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента. В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.
Псевдосфе́ра — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.
Фу́нкция Гудерма́на — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается или Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.
Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:
,
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
арксинус
арккосинус
арктангенс
арккотангенс
арксеканс
арккосеканс
Треуго́льник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью.
Формула тангенса половинного угла — тригонометрическая формула, связывающая тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла:
Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.
Исторический термин «решение треугольников» обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника, а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере, на гиперболической плоскости и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поля.
У́гол паралле́льности в геометрии Лобачевского — угол между перпендикуляром к данной прямой и асимптотически параллельной прямой, проведённой из точки, не лежащей на данной прямой.
Дифференцирование тригонометрических функций — математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.
Постоя́нная Га́усса — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:
(последовательность A014549 в OEIS)
Эта страница основана на статье Википедии. Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия. Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.
![{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa5de7add3f6f7b4afc01ad8e6e7104b4a7046)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da98fabf8f46f55ea647e4a6757b4e607181e589)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144ab068f71d401bcb8ec8987d8018c61ae8c6f1)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9b4e8a2863bde89f5b1ae37d22baad628f22f1)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaeae93b89e95c0a8e8200d9bad47f118abf2eb)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b9e377cf6c04bd40f3bc4ab5b0fca74e5d990c)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e993f388b8e08ebd1dba71a3f4ad111ddb584a8e)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcee767a64b00c15fc77ff93ae74a1eed826e4f4)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b4b7a37ba62359761765decd368d991aadcf0d)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880d0444ebb756556e3f8c7f6e34cc0519732c01)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16d95a27cb79ad13c81084bbfd45180940bf690)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc8d964e6fcc7b51bd923892debbb2c297124d2)
![{\displaystyle [r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4136592bba98828df0c688dcb9f1fa0c65628666)
![{\displaystyle [(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e762492388cbe0eff7d0dbce5af0428ff7be1)
![{\displaystyle v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7c999d6f9b292341dcf4358d986acb25474054)
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4029305e73e42a60a1b3d8c8bd289835ddb64fad)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682a45599d74013010afd2be5121a0b42f726812)
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519188fbd6eeaa2561558adafd34af867250ffd0)
![{\displaystyle x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce08ed0422df286f6a909add42d411d5c486705)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e0813cced8b22a1eb843990d9a6bb3640be2b8)
![{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa1b51ada0c0900b05d96987021db10da475801)
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4392017b697321e79c6e07f7c6b648ebb70c7abf)
![{\displaystyle =\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})\right]^{o_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c858315c743721fa0c3b2bceba96792ced02d5)
![{\displaystyle ={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b280d9589e39530a2671a87536618cea086a45f)
![{\displaystyle (2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a74d604ddaa34893f4090ff285901bad84c461)
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fb02cdd5a9344145c2a9cceb1dd17c3ae691c6)
![{\displaystyle [6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13}})[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd1c6d4905e05458a32669dca8f5b6c10c30209)
![{\displaystyle {\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13}})&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\\&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eab9e013bd4099f71806ec6578df51c3410e6ae)
![{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bb16357a93d37687e874450749d5c9f376f616)
![{\displaystyle \sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542e8d1cd631a0297cf54eadf8e0d4b6b2a0bbef)
