Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции ${\displaystyle f}$ с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ в виде ряда

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$.

Пусть ${\displaystyle \phi _{n}}$, ${\displaystyle \phi _{m}}$ — две функции пространства ${\displaystyle L^{2}\left[-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}\right]}$. Определим их скалярное произведение

${\displaystyle \langle \phi _{m}(x),\phi _{n}(x)\rangle :=\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx}$

Условие ортогональности

${\displaystyle \int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}}$

где ${\displaystyle \delta _{nm}}$ — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при ${\displaystyle n=m}$ или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида ${\displaystyle \sin(kx)}$, ${\displaystyle \cos(kx)}$ попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных ${\displaystyle k\neq l}$:

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(kx)\sin(lx)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\cos(lx)dx=0}$

и при всех целых неотрицательных ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\sin(lx)dx=0}$.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида ${\displaystyle \cos(kx),\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Тригонометрическим рядом Фурье функции ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ называют функциональный ряд вида

где

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx.}$

Числа ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) называются коэффициентами Фурье функции ${\displaystyle f}$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию ${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$. Если умножить правую часть (1) на ${\displaystyle \cos(kx)}$ и проинтегрировать по промежутку ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент ${\displaystyle a_{k}}$. Аналогично для ${\displaystyle b_{k}}$

Ряд (1) сходится к функции ${\displaystyle f}$ в пространстве ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$. Иными словами, если обозначить через ${\displaystyle S_{k}(x)}$ частичные суммы ряда (1):

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$,

то их среднеквадратичное отклонение от функции ${\displaystyle f}$ будет стремиться к нулю:

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}$.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}$.

Мы также рассматриваем систему функций

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$,

где ряд в правой части сходится к ${\displaystyle f}$ по норме в ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$. Здесь

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$.

Коэффициенты : ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0;}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2;}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0;}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0;}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0.}$

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ и ${\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$.

• Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:

${\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}_{k}=\alpha {\hat {f}}_{k}+\beta {\hat {g}}_{k}}$

• Справедливо равенство Парсеваля:

${\displaystyle 2\pi \sum _{k=1}^{\infty }{\hat {|f|}}_{k}^{2}=\|f\|^{2}}$.

• Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:

${\displaystyle {\widehat {(f')}}_{k}=ik{\hat {f}}_{k}}$

• коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:

${\displaystyle {\widehat {(fg)}}_{k}=\sum \limits _{j=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{j}{\hat {g}}_{k-j}}$

• рассмотрим операцию свертки функций:

${\displaystyle (f\ast g)(t):=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t-x)g(x)dx,}$

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ на всю прямую. Тогда

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}_{k}=2\pi {\hat {f}}_{k}{\hat {g}}_{k}}$

Функция	Ряд Фурье
	${\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t}{5}}+\dots \right)}$
	${\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n-1)t}{T}}}$

• Ряд Фурье
• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.