Тригонометрическое число

В математике тригонометрическое число (англ. trigonometric number)^[1] — иррациональное число, полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи, или синус или косинус рационального числа градусов.

Вещественное число, отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы.

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен^[1], впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков^[2].

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы. Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом. Последнее утверждение можно доказать^[1], взяв за основу формулу Муавра для случая ${\displaystyle \theta =2\pi k/n}$ для взаимно простых k и n:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=1.}$

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\theta ;}$ подставляя ${\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta }$, получаем уравнение полинома, имеющее ${\displaystyle \cos \theta }$ своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также ${\displaystyle \sin \theta }$ является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу ${\displaystyle \cos(\theta -\pi /2).}$ Наконец, ${\displaystyle \tan \theta }$, где ${\displaystyle \theta }$ является рациональным, кратным ${\displaystyle \pi }$, является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на ${\displaystyle \cos ^{n}\theta }$ для получения полиномиального уравнения в ${\displaystyle \tan \theta .}$