Трижды наращённый додекаэдр

Трижды наращённый додекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	24 грани 45 рёбер 23 вершины Χ = 2
Грани	15 треугольников 9 пятиугольников
Конфигурация вершины	2+3(53) 3+2x6(32.52) 3(35)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J61, М15+3М3
Группа симметрии	C3v

Три́жды наращённый додека́эдр^[1] — один из многогранников Джонсона (J₆₁, по Залгаллеру — М₁₅+3М₃).

Составлен из 24 граней: 15 правильных треугольников и 9 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 3 окружены четырьмя пятиугольными и треугольной, остальные 6 — тремя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена пятиугольной и двумя треугольными.

Имеет 45 рёбер одинаковой длины. 15 рёбер располагаются между двумя пятиугольными гранями, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, остальные 15 — между двумя треугольными.

У трижды наращённого додекаэдра 23 вершины. В 5 вершинах сходятся три пятиугольных грани; в 15 вершинах сходятся две пятиугольных и две треугольных грани; в 3 вершинах сходятся пять треугольных граней.

Трижды наращённый додекаэдр можно получить из четырёх многогранников — додекаэдра и трёх пятиугольных пирамид (J₂), — приложив основания пирамид к любым трём попарно не смежным граням додекаэдра.

Если трижды наращённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 21{,}9794871a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 8{,}5676275a^{3}.}$

• Weisstein, Eric W. Трижды наращённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.