Трилинейная интерполяция

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции $f$ в точке $(x,y,z)$ , используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике^[].

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=1$ , и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=2$ , на пространство размерности $D=3$ . Для того чтобы интерполировать значения функции в точке $(x,y,z)$ , необходимо знать значения $f$ в 8 смежных точках, окружающих $(x,y,z)$ .

Интерполяция действительной функции

Допустим, требуется интерполировать значение функции $f$ в точке $(x,y,z)$ . Пусть даны значения функции $f$ в окружающих точках $(x_{i},y_{j},z_{k})$ , где $i=1,2$ , $j=1,2$ , $k=1,2$ , причем $x_{1}<x<x_{2}$ , $y_{1}<y<y_{2}$ , $z_{1}<z<z_{2}$ . Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}).\end{aligned}}

В частности, в единичном кубе ( $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$ ):

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\&+f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz.\end{aligned}}

Похожие исследовательские статьи

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

Кватернио́ны — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом $\text{[math]}$ . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

в общей форме: $\text{[math]}$ ;
в канонической форме: $\text{[math]}$ ,

<span class="mw-page-title-main">Векторное поле</span> отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит вектор в соответствие с направлением этой точки

Ве́кторное по́ле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.

Ба́зис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве или модуле, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

\text{[math]}

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $\text{[math]}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или иногда просто $\text{[math]}$ , если основание $\text{[math]}$ подразумевается. Обычно число $\text{[math]}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае. Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием или добавить взаимодействие в качестве возмущения.

Вторая квадратичная форма поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

<span class="mw-page-title-main">Билинейная интерполяция</span>

Билине́йная интерполя́ция — в вычислительной математике — обобщение линейной интерполяции одной переменной для функций двух переменных.

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга вокруг его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

<span class="mw-page-title-main">Бикубическая интерполяция</span>

Бикуби́ческая интерполя́ция — в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции является гладкой функцией на границах соседних квадратов, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа.

Эрмитова интерполяция - метод полиномиальной интерполяции, названный в честь французского математика Шарля Эрмита. Многочлены Эрмита тесно связаны с многочленами Ньютона.

Обобщённые координаты — переменные состояния системы, описывающие конфигурацию динамической системы относительно некоторой эталонной конфигурации в аналитической механике, а конкретно исследовании динамики твёрдых тел в системе многих тел. Эти переменные должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонной конфигурации. Обобщённые скорости — производные по времени обобщённых координат системы.

Онлайновое машинное обучение — это метод машинного обучения, в котором данные становятся доступными в последовательном порядке и используются для обновления лучшего предсказания для последующих данных, выполняемого на каждом шаге обучения. Метод противоположен пакетной технике обучения, в которой лучшее предсказание генерируется за один раз, исходя из полного тренировочного набора данных. Онлайновое обучение является общей техникой, используемой в областях машинного обучения, когда невозможна тренировка по всему набору данных, например, когда возникает необходимость в алгоритмах, работающих с внешней памятью. Метод используется также в ситуациях, когда алгоритму приходится динамически приспосабливать новые схемы в данных или когда сами данные образуются как функция от времени, например, при предсказании цен на фондовом рынке. Алгоритмы онлайнового обучения могут быть склонны к катастрофическим помехам, проблеме, которая может быть решена с помощью подхода пошагового обучения.

Уравнение электромагнитной волны — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение электромагнитных волн через среду или в вакуумe. Это трёхмерная форма волнового уравнения. Однородная форма уравнения, записанная в терминах либо электрического поля E, либо магнитного поля B, имеет вид:

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.