Трёхдиагональная матрица

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби^[1] называют ленточную матрицу следующего вида:

{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия $x_{1}$ и $x_{n}$ , которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода $F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ определит первую строку в виде $c_{1}=1$ , $b_{1}=0$ , а краевое условие второго рода ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ будет соответствовать значениям $c_{1}=-1$ , $b_{1}=1$ .

Определитель

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой^[2]. Положим

f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}

для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также

Примечания

↑ Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3. Архивировано 9 января 2015 года.
↑ El-Mikkawy, M. E. A. On the inverse of a general tridiagonal matrix (неопр.) // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Т. 150, № 3. — С. 669—679. — doi:10.1016/S0096-3003(03)00298-4.

Литература

В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов Трёхдиагональные матрицы и их приложения. - М., Наука, 1985. - 208 c.

Похожие исследовательские статьи

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нулевому вектору.

Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Краевая задача — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

<span class="mw-page-title-main">Система линейных алгебраических уравнений</span>

Система линейных алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция $\text{[math]}$ , определённая для системы функций $\text{[math]}$ на промежутке $\text{[math]}$ , дифференцируемых $\text{[math]}$ -раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:

\text{[math]}

Минор в линейной алгебре — определитель некоторой меньшей квадратной матрицы $\text{[math]}$ , вырезанной из заданной матрицы $\text{[math]}$ путём удаления одной или нескольких её строк и столбцов. Порядок матрицы $\text{[math]}$ называется порядком этого минора. Если на диагонали матрицы $\text{[math]}$ расположены только диагональные элементы матрицы $\text{[math]}$ , то минор называется главным.

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Ме́тод Крамера — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы.

Интерполя́ция алгебраи́ческими многочле́нами функции $\text{[math]}$ действительного аргумента на отрезке $\text{[math]}$ — нахождение коэффициентов многочлена $\text{[math]}$ степени меньшей или равной $\text{[math]}$ , принимающего при значениях аргумента $\text{[math]}$ значения $\text{[math]}$ , множество $\text{[math]}$ называют узлами интерполяции:

\text{[math]}

Метод Гаусса — Жордана — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Метод прогонки (англ. tridiagonal matrix algorithm) или алгоритм Томаса используется для решения систем линейных уравнений вида $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — трёхдиагональная матрица. Представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Метод прогонки был предложен И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским, а также независимо другими авторами.

Спино́р — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа, которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году, хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Бетатронные колебания — быстрые поперечные колебания, совершаемые частицей в фокусирующих магнитных полях ускорителя. Бетатронные колебания — основной предмет изучения электронной оптики, раздела физики ускорителей.

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

\text{[math]}

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.