Уравнение Брио — Буке

Уравнение Брио и Буке — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

x^{m}{\frac {dy}{dx}}=f(x,y),\quad (*)

где m — натуральное число, функция $f(x,y)$ аналитическая и удовлетворяет условиям $f(0,0)=0$ и $f_{y}(0,0)\neq 0$ ^[1]^[2]. Уравнения (*) можно рассматривать как в вещественной, так и в комплексной области.

Название дано в честь двух французских математиков XIX века: Шарля Брио^[англ.] и Жан-Клода Буке^[фр.], которые провели детальное исследование таких уравнений. Они, в частности, доказали, что уравнение (*) с начальным условием $y(0)=0$ почти всегда (за исключением случая, когда $m=1$ и $f_{y}(0,0)$ есть натуральное число) имеет единственное решение, представимое в виде формального степенного ряда $y=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,$ который сходится в некоторой окрестности точки $x=0$ , если $m=1$ , и может расходиться для всех $x\neq 0$ , если $m>1$ ^[2].

История

См. также

Теорема Пенлеве

Литература

Briot, C. and Bouquet, J. Propriétés des fonctions définie par des équations différentielles. J. l'Ecole Polytechnique, Cah. 36, 133-198, 1856.
Hazewinkel, M. (Managing Ed.). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia." Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 481-482, 1988.
Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.
Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Примечания

↑ WolframMathWorld: Briot-Bouquet Equation (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2016. Архивировано 5 октября 2016 года.
↑ ¹ ² Библиотека по математике: БРИО-БУКЕ УРАВНЕНИЕ (неопр.). Дата обращения: 4 октября 2016. Архивировано 5 октября 2016 года.

Похожие исследовательские статьи

Логари́фм числа $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание $\text{[math]}$ , чтобы получить число $\text{[math]}$ . Обозначение: $\text{[math]}$ , произносится: «логарифм $\text{[math]}$ по основанию $\text{[math]}$ ».

Уравне́ние — равенство вида

\text{[math]}

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

\text{[math]}

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями . Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Maple — программный пакет, система компьютерной алгебры. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc., которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный интерпретируемый язык программирования, синтаксисом частично напоминающий Паскаль.

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости, являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где $\text{[math]}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,718. Он обозначается как $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или иногда просто $\text{[math]}$ , если основание $\text{[math]}$ подразумевается. Обычно число $\text{[math]}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Обыкновенное дифференциальное уравне́ние (ОДУ) — дифференциальное уравнение для функции от одной переменной Таким образом, ОДУ — уравнения вида

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Кубическое уравнение</span> полиномиальное уравнение 3 степени

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий:

\text{[math]}

Алгебраическое уравнение — уравнение вида

\text{[math]}

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

электростатическое поле,
гравитационное поле,
стационарное поле температуры,
поле давления,
поле потенциала скорости в гидродинамике.

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум. Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в чистых стратегиях. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

\text{[math]}

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Теорема об обратной функции даёт достаточные условия для существования обратной функции в окрестности точки через производные от самой функции.

Теорема Феничеля является одним из классических результатов теории быстро-медленных систем. Она гарантирует существование локально инвариантных множеств для медленного многообразия системы.

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чисел — уравнение следующего вида:

\text{[math]}

Диффеото́п — вторичное многообразие, то есть многообразие всех формальных решений дифференциального уравнения. Вообще говоря, бесконечномерное многообразие $\text{[math]}$ с дополнительной структурой — интегрируемым распределением $\text{[math]}$ , которое локально эквивалентно бесконечному продолжению дифференциального уравнения $\text{[math]}$ . Причём при локальности «функции склейки» должны сохранять соответствующие распределения.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.