Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение ${\displaystyle \mathbf {a} }$ броуновской частицы массы ${\displaystyle m}$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (закон Стокса), шумового члена ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)}$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и ${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )}$ — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

${\displaystyle m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )-\gamma \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}(t).}$

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {1}{B}}{\dot {x}}+F(t)}$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

${\displaystyle \langle F(t)\rangle =0}$

${\displaystyle \langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})}$

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, ${\displaystyle \delta (t_{1}-t_{2})}$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

${\displaystyle {\dot {v}}=-\lambda v+{\frac {F}{m}}}$, где ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{mB}}}$

Пусть в начальный момент времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ частица имела скорость ${\displaystyle v_{0}}$. Будем искать решение в виде: ${\displaystyle v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)}$, тогда для ${\displaystyle u(t)}$ получим следующее дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=\exp(\lambda t){\frac {F}{m}}}$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m}}\exp(\lambda \tau )d\tau }$

Из него следуют два важных соотношения:

1. ${\displaystyle \langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)}$. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left(1-\exp(-2\lambda t)\right)}$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению ${\displaystyle {\frac {b}{2\lambda m^{2}}}}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b=2{\frac {k_{B}T}{B}}}$

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

${\displaystyle {\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt}}={\frac {2}{\lambda }}\left\langle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt}$

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

${\displaystyle D=k_{B}TB}$

где B — подвижность броуновской частицы.

• W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation