Уравнение Льенара

Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара.

Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём ${\displaystyle g}$ — нечётная функция, а ${\displaystyle f}$ — чётная. Тогда уравнение вида

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$

называется уравнением Льенара.^[1]

Кроме того, уравнение Льенара можно^[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену ${\displaystyle v={dx \over dt}}$. Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: ${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

• Осциллятор Ван дер Поля ${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$ имеет вид уравнения Льенара при ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\mu (1-x^{2})\\g(x)=x\end{matrix}}\right.}$.

Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$;

${\displaystyle x_{1}:=x}$;

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$.

Тогда система вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

называется системой Льенара.

Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• ${\displaystyle g(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x>0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$
• ${\displaystyle F(x)}$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра ${\displaystyle p}$, причём

${\displaystyle F(x)<0}$ при ${\displaystyle 0<x<p}$ и

${\displaystyle F(x)>0}$ и монотонна при ${\displaystyle x>p}$.

• Осциллятор