Уравнение Саха

Ионизационное уравнение Са́ха или просто уравнение Саха, известное также как уравнение Саха — Ленгмюра, было выведено Эггертом в 1919 году для недр звёзд, а в 1920 году применено индийским астрофизиком Мегнадом Саха для фотосферы. Оно позволило объяснить спектральную последовательность звёзд (за что и было названо в честь Саха). Независимо Ирвингом Ленгмюром оно было получено в 1923 году. Важнейшее применение это уравнение получило в теории звёздных атмосфер и разработке спектральной классификации звёзд. В этом уравнении объединены идеи квантовой и статистической механики.

При повышении температуры газа кинетическая энергия составляющих его атомов становится столь высокой, что при столкновении друг с другом атомы начинают терять электроны, то есть начинается процесс ионизации. Такое состояние вещества в физике называется плазмой. Если газ полностью ионизован, то говорят о полностью ионизованной плазме, если же одни атомы ионизованы, а другие остались нейтральными, то говорят о частично ионизованной плазме. Уравнение Саха описывает степень ионизации такой плазмы как функции температуры, давления и энергии ионизации атомов. Уравнение Саха применимо для равновесной плазмы.

Уравнение Саха выполняется, если ионизация и рекомбинация проходят по одному и тому же пути, плазма рассматривается как идеальный газ (при не слишком низких и не слишком высоких плотностях), кулоновская энергия мала по сравнению с тепловой.

Для газа, состоящего из атомов одного сорта уравнение Саха можно записать в виде:

${\displaystyle {\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {u_{i+1}}{u_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{B}T}}\right],}$

где

• ${\displaystyle n_{i}}$ — концентрация атомов в ${\displaystyle i}$-й степени ионизации; ${\displaystyle i}$ — число недостающих электронов.
• ${\displaystyle n_{e}}$ — концентрация электронов
• ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ — энергия, необходимая для удаления ${\displaystyle i}$ электронов из нейтрального атома, то есть для создания атома ${\displaystyle i}$-й степени ионизации.
• ${\displaystyle u_{i}=\sum _{n}^{z}g_{n}(i)e^{-{\frac {E_{n}}{k_{B}T}}}}$ — статистическая сумма:
  • ${\displaystyle g_{n}(i)}$ — статистический вес уровня ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$-кратного иона.
  • ${\displaystyle T}$ — температура газа
  • ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана
• ${\displaystyle \Lambda \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}k_{B}T}}}}$ — длина волны де Бройля (eng)
  • ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона
  • ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка

В случае, когда существуют только однократно ионизованные атомы уравнение упрощается: ${\displaystyle n_{1}=n_{e}}$, тогда полную плотность ${\displaystyle n}$ можно ввести как ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}}$. Уравнение Саха можно представить в виде:

${\displaystyle {\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}\right]}$,

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — энергия ионизации.

В астрофизике используется следующая форма для уравнения Саха:

${\displaystyle {\frac {n^{+}}{n}}P_{e}={\frac {2u_{1}}{u_{0}}}{\frac {\left(2\pi m_{e}\right)^{3/2}}{h^{3}}}\left(k_{B}T\right)^{5/2}e^{-{\frac {\varepsilon }{k_{B}T}}},}$

где ${\displaystyle P_{e}}$ — давление электронов.

• A detailed derivation from University of Utah Physics Department (англ.)
• Lecture notes from University of Maryland Department of Astronomy (англ.)
• Saha, Megh Nad; On a Physical Theory of Stellar Spectra, Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Volume 99, Issue 697 (May 1921), pp. 135—153 (англ.)
• Langmuir, Irving; and Kingdon, Kenneth H.; The Removal of Thorium from the Surface of a Thoriated Tungsten Filament by Positive Ion Bombardment, Physical Review, Vol. 22, No. 2 (August 1923), pp. 148—160 (англ.)
• Д.А. Франк-Каменецкий. Лекции по физике плазмы. — Атомиздат, 1968. — 285 с.