Уравнение последовательности с конечной производной

Уравнение последовательности с конечной производной — уравнение в математике, позволяющее записать любую последовательность, производная которой конечна. Производная последовательности и производная функции, задающей последовательность — разные понятия. Такой последовательностью будет считаться любая последовательность, записанная в виде многочлена. Уравнение последовательности записывается в виде функции с натуральным аргументом, значение которого — порядковый номер элемента последовательности. Уравнение имеет вид функции:

${\displaystyle f(x)=(x-1)!\sum _{k=1}^{m}{\frac {\alpha _{k}}{(x-k)!(k-1)!}}}$,

где ${\displaystyle m}$ — минимальная длина производной последовательности, ${\displaystyle a_{k}}$ — k-й элемент производной последовательности (${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$).

Пусть существует последовательность чисел, заданная уравнением ${\displaystyle 3x^{2}-2}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle 1,\ 10,\ 25,\ 46,\ 73,\ 106\ ...}$ и т.д.

Запишем под ней строку разности, т. е. ряд, каждый элемент которой равен минус разности двух элементов сверху:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}1\qquad 10\qquad 25\qquad 46\qquad 73\qquad 106\\\ \ \ \ \ \ 9\qquad 15\qquad 21\qquad 27\qquad 33\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}}}$

Так выглядит схема последовательности. Строки разности подсчитываются следующим образом: берётся первая пара чисел из верхнего ряда и вычитается второе число из первого (${\displaystyle 10-1=9}$). Число ${\displaystyle 9}$ записывается снизу под промежутком между двумя выбранными числами. Такая операция проводится и над числами ${\displaystyle 25}$ и ${\displaystyle 10}$ и так до конца ряда. Затем такая операция проводится и для получившегося ряда и так до конца. Ряд чисел, образованный первыми числами в каждом ряду с первого (в данном случае — ${\displaystyle (1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)}$) называется производной последовательности, так как она описывает скорость роста чисел в ней. Записывается производная последовательности через запятую в скобках. Элемент производной последовательности записывается ${\displaystyle a_{k}}$, где ${\displaystyle k}$ — порядковый номер элемента производной последовательности (${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$). Производная считается конечной, если нашлась такая строка разности, которая заполнена нулями.

Если существует некоторая производная, то из неё можно восстановить последовательность обратными действиями. В случае с производной ${\displaystyle (1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)}$, последующие элементы которой заполнены нулями, из неё можно восстановить последовательность, заданной функцией ${\displaystyle 3x^{2}-2}$. Однако последовательность можно уменьшить до ${\displaystyle (1,\ 9,\ 6)}$, притом она не перестанет описывать функцию ${\displaystyle 3x^{2}-2}$. Если же уменьшить её ещё сильнее, например, ${\displaystyle (1,\ 9)}$, то такая производная будет описывать последовательность, заданной другой функцией — ${\displaystyle 9x+1}$, а значит минимальная длина производной последовательности в данном случае — 3. Для получения производной последовательности минимальной длины необходимо убрать все нули в конце производной, так как они не влияют на последовательность. Длина получившейся производной и будет считаться минимальной.

Связывается уравнение последовательности с его производной количеством сочетаний из ${\displaystyle x-1}$ по ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle x}$ – номер элемента последовательности (${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$):

${\displaystyle f(x)={\binom {x-1}{0}}\alpha _{1}+{\binom {x-1}{1}}\alpha _{2}+{\binom {x-1}{2}}\alpha _{3}+...+{\binom {x-1}{n-2}}\alpha _{n-1}+\alpha _{n}}$.

Это выражение можно записать и в общей форме:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{x}{\binom {x-1}{k-1}}\alpha _{k}}$.

С учётом того, что

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$,

запишем общее уравнение:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{x}{\frac {(x-1)!}{(x-k)!(k-1)!}}\alpha _{k}}$.

В данном случае формула суммы проходится по всей длине производной. Если она будет больше минимальной длины ${\displaystyle m}$, то в случаях, когда ${\displaystyle k>m}$ дробь обнуляется, т. к. производная ${\displaystyle \alpha _{k}}$ в таких случаях равна нулю. В таком случае имеет смысл ограничить количество итераций суммы до ${\displaystyle m}$. Также в формуле можно вынести за знак суммы ${\displaystyle (x-1)!=const}$:

${\displaystyle f(x)=(x-1)!\sum _{k=1}^{m}{\frac {\alpha _{k}}{(x-k)!(k-1)!}}}$.

Для последовательности, заданной многочленом ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$, существует производная, ${\displaystyle k}$-й элемент которой обозначается ${\displaystyle \alpha _{k}}$. Для ${\displaystyle \alpha _{k}}$ верна следующая формула:

${\displaystyle \alpha _{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k+i}\times {\frac {(k-1)!}{(k-i-1)!i!}}\times f(i)}$.

Из этой формулы выводятся производные многочленов разных степеней.

Для последовательности, заданной многочленом первой степени (${\displaystyle ax+b}$) производная последовательности имеет следующий вид:

${\displaystyle (f(1),\quad f(2)-f(1))}$.

Поставляя значения в ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, получим:

${\displaystyle (a+b,\quad a)}$.

Для последовательности, заданной многочленом второй степени ${\displaystyle (ax^{2}+bx+c)}$ производная последовательности имеет следующий вид:

${\displaystyle (f(1),\quad f(2)-f(1),\quad f(1)-2f(2)+f(3))}$.

Поставляя значения в ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$, получим:

${\displaystyle (a+b+c,\quad 3a+b,\quad 2a)}$.

Для последовательности, заданной многочленом третьей степени ${\displaystyle (ax^{3}+bx^{2}+cx+d)}$ производная последовательности имеет следующий вид:

${\displaystyle (f(1),\quad f(2)-f(1),\quad f(1)-2f(2)+f(3),\quad f(4)-3f(3)+3f(2)-f(1))}$.

Поставляя значения в ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$, получим:

${\displaystyle (a+b+c+d,\quad 7a+3b+c,\quad 12a+2b,\quad 6a)}$.

Для существующей производной ${\displaystyle (1,\ 9,\ 6)}$ в соответствии с уравнением запишем сумму дробей:

${\displaystyle f(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+9\times {\frac {(x-2)!}{(x-1)!1!}}+6\times {\frac {(x-3)!}{(x-2)!2!}}}$.

Раскроем факториалы, а затем скобки:

${\displaystyle f(x)=1+9(x-1)+3(x-1)(x-2)=1+3(x-1)(x+1)=3(x^{2}-1)+1=3x^{2}-2}$.

1. Степень многочлена, которым записывается уравнение последовательности, зависит от значения ${\displaystyle m}$, т. к. с ним растёт и число слагаемых, а значит и общее число множителей в слагаемых. Степень многочлена определима по формуле ${\displaystyle n=m-1}$, где ${\displaystyle n}$ — степень многочлена. При ${\displaystyle m=1}$ уравнение принимает постоянное значение, равное первому и единственному элементу производной. Таким образом, можно представить любой многочлен в виде значения уравнения, а значит у каждого многочлена есть производная.
2. Первым элементом любой производной любого многочлена является сумма всех его коэффициентов, включая свободный член.
3. Значение ${\displaystyle (n+1)}$-го элемента производной последовательности, заданной многочленом ${\displaystyle n}$-й степени, вычисляется минус разностью её ${\displaystyle n}$-го элемента и ${\displaystyle n}$-го элемента производной новой последовательности, образованной сдвигом старой на один элемент влево.

Для последовательности, заданной многочленом ${\displaystyle f(x)}$, где ${\displaystyle x}$ — порядковый номер элемента последовательности (${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$), можно найти формулу, значение которой равно сумме первых ${\displaystyle n}$ членов этой последовательности. Пусть ${\displaystyle P(x)=\textstyle \sum _{k=1}^{x}\displaystyle f(k)}$, тогда разложим сумму на каждый одночлен многочлена ${\displaystyle f(x)}$. Пусть ${\displaystyle f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...}$, тогда получим:

${\displaystyle P(x)=a\sum _{k=1}^{x}k^{n}+b\sum _{k=1}^{x}k^{n-1}+c\sum _{k=1}^{x}k^{n-2}+...}$

Последовательность, заданная этой функцией называется последовательностью суммы. Таким образом, вся задача сводится к поиску элементарных сумм вида ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{x}k^{n}}$ для ${\displaystyle n\in [1,m-1]}$, где ${\displaystyle m}$ — минимальная длина производной последовательности.

Последовательность, заданная функцией ${\displaystyle P(x)}$, имеет производную, связанную с производной последовательности, заданной функцией ${\displaystyle f(x)}$. Для того чтобы её получить, необходимо просуммировать элементы производной со сдвигом:

     1  9  6
+ 1  9  6 
————————————
  1 10 15  6

Производная, полученная таким образом называется симметричной, а явление — симметричностью производной. Так, для получения формулы суммы первых ${\displaystyle n}$ членов последовательности, заданной функцией ${\displaystyle 3x^{2}-2}$, необходимо восстановить новую формулу из производной ${\displaystyle (1,10,15,6)}$, в результате чего получится ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2x^{3}+3x^{2}-3x)}$. Формула подтверждается теоремой о лямбда-функции, утверждающей, что у формулы суммы отсутствует свободный член (${\displaystyle f(0)=0}$).

Т. к. ряд натуральных чисел имеет производную ${\displaystyle (1,1)}$, производная последовательности суммы этого ряда равна ${\displaystyle (1,2,1)}$. Можно вывести формулу суммы первых ${\displaystyle x}$ натуральных чисел:

${\displaystyle P(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+2\times {\frac {(x-1)!}{(x-2)!1!}}+1\times {\frac {(x-1)!}{(x-3)!2!}}}$.

В результате преобразований функция примет вид:

${\displaystyle P(x)=1+2(x-1)+{\frac {1}{2}}(x-1)(x-2)={\frac {x^{2}+x}{2}}={\frac {x(x+1)}{2}}}$.

Т. к. ряд натуральных квадратов имеет производную ${\displaystyle (1,3,2)}$, производная последовательности суммы этого ряда равна ${\displaystyle (1,4,5,2)}$. Можно вывести формулу суммы первых ${\displaystyle x}$ натуральных квадратов:

${\displaystyle P(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+4\times {\frac {(x-1)!}{(x-2)!1!}}+5\times {\frac {(x-1)!}{(x-3)!2!}}+2\times {\frac {(x-1)!}{(x-4)!3!}}}$.

В результате преобразований функция примет вид:

${\displaystyle P(x)=1+4(x-1)+{\frac {5}{2}}(x-1)(x-2)+{\frac {2}{6}}(x-1)(x-2)(x-3)={\frac {2x^{3}+3x^{2}+x}{6}}={\frac {x(x+1)(2x+1)}{6}}}$.

Кроме возможности находить функцию, которой был задан ряд чисел, уравнение последовательности с конечной производной позволит предугадывать следующее число в последовательности. На основе схемы последовательности можно построить искусственный интеллект.

Алгоритм заключается в том, что для нахождения следующего числа необходимо сложить последние элементы во всех строках разности и последний элемент самой последовательности. Получившееся число будет соответствовать уравнению в том случае, если верно определена минимальная длина производной. Лучше всего алгоритм использовать для бесконечных производных с произвольным изменением чисел.

• Теорема о лямбда-функции