Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого $n$ -мерного многогранника $P$ обозначим через $f_{k}$ количество граней $P$ размерности $k$ ; в частности, $f_{n}=1$ . Рассмотрим формальную сумму

\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}

где $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{\binom {i}{k}}$ , то есть коэффициенты $h_{k}$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

h_{k}=h_{n-k}

для каждого целого $k$ .

Связанные определения

Последовательность $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ называется f-вектором многогранника.
Последовательность $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ называется h-вектором многогранника.
- Если $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника $P$ $P$ лежат на разных уровнях $\ell$ $\ell$ , тогда $h_{k}$ $h_{k}$ равно числу вершин $P$ $P$ индекса $k$ $k$ ; то есть ровно $k$ $k$ рёбер из этой вершины идут вниз по $\ell$ $\ell$ . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой $\ell$ $\ell$ на $-\ell$ $-\ell$ .
  - В дополнении получаем $h_{k}\geqslant 0$ для любого $k$ , это даёт нетривиальные неравенства на $f$ -вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном^[1]. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем^[англ.] в 1927.

Примечания

↑ M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586

Литература

В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.

Ссылки

Похожие исследовательские статьи

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — целочисленная характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $\text{[math]}$ обычно обозначается $\text{[math]}$ .

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы $\text{[math]}$ — $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Названа в честь А. А. Маркова (старшего), который впервые ввёл это понятие в работе 1906 года.

Дифференциа́льная фо́рма порядка $\text{[math]}$ , или $\text{[math]}$ -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа $\text{[math]}$ на многообразии.

Ба́зис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве или модуле, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

<span class="mw-page-title-main">Гиперболические уравнения</span>

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц.

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале.

Касательный вектор — элемент касательного пространства, например элемент касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности так далее.

Вторая квадратичная форма поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Простой многогранник — выпуклый $\text{[math]}$ -мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно $\text{[math]}$ рёбер.

Циклический многогранник — выпуклый многогранник, вершины которого лежат на кривой $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ .

Алгори́тм Ка́ргера — в информатике и теории графов является вероятностным алгоритмом, позволяющим найти минимальный разрез связного графа. Алгоритм изобретен Девидом Каргером и опубликован в 1993 году.

k-Смежностный многогранник — это выпуклый многогранник, в котором любое k-элементное подмножество его вершин является множеством вершин некоторой грани этого многогранника.

Лемма Гордана — лемма из области выпуклой геометрии и алгебраической геометрии. У неё есть несколько равносильных формулировок:

Для выпуклого рационального полиэдрального конуса полугруппа (моноид) точек с целыми координатами, лежащих внутри него, конечно порождена.
Пусть $\text{[math]}$ — целочисленная матрица. Пусть $\text{[math]}$ — множество неотрицательных целочисленных решений системы $\text{[math]}$ . Тогда существует конечное подмножество $\text{[math]}$ такое, что каждый элемент $\text{[math]}$ представляется как линейная комбинация векторов из $\text{[math]}$ с целыми неотрицательными коэффициентами.
Аффинное торическое многообразие является алгебраическим многообразием.

Проблема Кадисона — Зингера — математическая гипотеза, выдвинутая в 1959 году и подтвержденная в 2013 году, согласно которой расширения линейных функционалов на $\text{[math]}$ -алгебре при некоторых ограничениях являются единственными.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.