Уравнения Цёппритца

Уравнения Цёппритца — уравнения, определяющие изменение амплитуд сейсмических волн на границах слоёв с различными сейсмическими свойствами. Карл Бернхард Цёппритц (1881–1908) — немецкий геофизик, который сформулировал уравнения, названные в его часть. Он работал в Гёттингенском университете ассистентом в исследовательской группе Эмиля Вихерта. Уравнения Цёппртитца связывают амплитуды Р– и S– волн на границе двух упругих сред с углом падения $\alpha _{1}$ волны на границу.

Точная формулировка

Матрица

${\begin{pmatrix}sin\alpha _{P1}&-cos\alpha _{S1}&sin\alpha _{P2}&cos\alpha _{S2}\\cos\alpha _{P1}&sin\alpha _{S1}&-cos\alpha _{P2}&sin\alpha _{S2}\\\gamma _{P1}\cdot cos2\alpha _{S1}&\gamma _{S1}\cdot sin2\alpha _{S1}&\gamma _{P2}\cdot cos2\alpha _{S2}&-\gamma _{S2}\cdot cos2\alpha _{S2}\\\gamma _{P1}\cdot cos2\alpha _{S1}&\gamma _{S1}\cdot sin2\alpha _{S1}&\gamma _{P2}\cdot cos2\alpha _{S2}&-\gamma _{S2}\cdot cos2\alpha _{S2}\\\end{pmatrix}}$

Неизвестные

Свободные члены

Приближение

Уравнения Цёппритца сложны в использовании, и поэтому чаще используются приближения, такие как уравнения Бортфельда^[1] (1961 год) и Шуей (1985 год). Шуей в^[2] приближении:

$R(\theta )=R_{0}+[A_{0}R_{0}+{\frac {\triangle \sigma }{(1-\sigma )^{2}}}]sin^{2}\theta +{\frac {1}{2}}{\frac {\triangle V_{p}}{V_{p}}}(tan^{2}\theta -sin^{2}\theta )$

где каждый элемент охватывает амплитуды отражения на больших углах. Первое слагаемое $R_{0}$ дает амплитуду при нормальном падении $(\theta =0)$ , второе слагаемое характеризует $R(\theta )$ на промежуточных углах, а третий член описывает подход к критическому углу. Здесь $\sigma$ это коэффициент Пуассона, $\theta$ — угол падения, и $A_{0}$ — медленно меняющаяся величина пропорциональная ${\frac {1-2\theta }{1-\theta }}$ . Это приближение было сделано с точностью до 60 градусов от критического угла, и оно предполагает, что изменение плотности и скоростей через границы много меньше 1.

Литература

↑ R. Bortfeld, Approximations to the reflection and transmission coefficients of plane longitudinal and transverse waves Архивная копия от 3 апреля 2017 на Wayback Machine. Geophys. Prosp., 9, 1961, 485—502
↑ Shuey, R. T. A simplification of the Zoeppritz equations (неопр.) // Geophysics. — 1985. — April (т. 50, № 9). — С. 609—614. — doi:10.1190/1.1441936. (недоступная ссылка)

Ссылки

https://web.archive.org/web/20110428170807/http://www.crewes.org/ResearchLinks/ExplorerPrograms/ZE/ZEcrewes.html

Похожие исследовательские статьи

Кинема́тика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $\text{[math]}$ по длинам его сторон $\text{[math]}$ :

\text{[math]}

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки и пересекающих некоторую поверхность. Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Эпицикло́ида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Поворо́т (враще́ние) — движение плоскости или пространства, при котором по крайней мере одна точка остаётся неподвижной.

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями определяются аксиомами геометрии.

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $\text{[math]}$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $\text{[math]}$ равен единичной матрице:

\text{[math]}

Ма́трицей поворо́та называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания и подавления, чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $\text{[math]}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

\text{[math]}

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев, изменение кривизны/искривление срединной поверхности пластины или оболочки. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса или оболочки изгибающих моментов. Прямой изгиб балки возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Водородоподо́бный а́том или водородоподо́бный ио́н представляет собой любое атомное ядро, которое имеет один электрон и, следовательно, является изоэлектронным атому водорода. Эти ионы несут положительный заряд $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — зарядовое число ядра. Примерами водородоподобных ионов являются He⁺, Li²⁺, Be³⁺ и B⁴⁺. Поскольку водородоподобные ионы представляют собой двухчастичные системы, взаимодействие которых зависит только от расстояния между двумя частицами, их (нерелятивистское) уравнение Шредингера и (релятивистское) уравнение Дирака имеют решения в аналитической форме. Решения являются одноэлектронными функциями и называются водородоподобными атомными орбиталями.

Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Статическая изотропная метрика — это метрика, определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого пространства-времени.

Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L такая, что OP = P₁P₂. Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

$\text{[math]}$ -матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение $\text{[math]}$ -матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.

<span class="mw-page-title-main">Модель Удзавы — Лукаса</span>

Модель Удзавы — Лукаса — двухсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от накопления персонифицированного человеческого капитала в секторе образования. В модели показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом. Модель Удзавы — Лукаса вклад в изучение человеческого капитала и внешних эффектов от него. Первоначальная версия модели была разработана Хирофуми Удзавой в 1965 году, которая затем была существенно дополнена Робертом Лукасом в 1988 году.

Угол Кабиббо — параметр упрощённой теории слабого взаимодействия, рассматривающей только два поколения кварков и лептонов. Позволяет математически описывать процессы с участием слабого взаимодействия с изменением и без изменения странности, значительно различающиеся между собой по их вероятности. Впервые был использован Николой Кабиббо в 1963 году, когда были известны только два поколения кварков и лептонов. Приблизительно равен $\text{[math]}$ . Благодаря его малой величине вероятности распадов с изменением странности значительно меньше вероятностей распадов без изменения странности.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.