Уравнения Чаплыгина

Уравнения Чаплыгина — уравнения динамики неголономной системы. Получены С. А. Чаплыгиным в 1895 году^[1]. Позволяют упростить уравнения динамики неголономных систем путём исключения из уравнений динамики связей и уменьшения числа интегрируемых уравнений на число связей^[2].

Рассмотрим неголономную систему с ${\displaystyle s}$ степенями свободы и ${\displaystyle d}$ неголономными связями^[3]. Обозначим кинетическую энергию системы ${\displaystyle T}$, потенциальную энергию ${\displaystyle \Pi }$. Обобщённые скорости зависимых координат ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=\sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{\dot {q}}_{m}+h_{k}}$, где ${\displaystyle k=s-d+1,...,s}$. Обозначим ${\displaystyle T^{*}}$ кинетическую энергию системы после исключения зависимых скоростей ${\displaystyle {\dot {q}}_{s-d+1},{\dot {q}}_{s-d+2},...,{\dot {q}}_{s}}$.

Уравнения динамики неголономной системы имеют вид^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T^{*}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T^{*}}{\partial q_{m}}}+\sum _{k=s-d+1}^{s}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\sum _{r=1}^{s-d}\left({\frac {\partial h_{kr}}{\partial q_{m}}}-{\frac {\partial h_{km}}{\partial q_{r}}}\right){\dot {q}}_{r}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}},}$

где ${\displaystyle m=1,2,...,s-d.}$ В этих уравнениях можно исключить скорости зависимых координат ${\displaystyle {\dot {q}}_{s-d+1},{\dot {q}}_{s-d+2},...,{\dot {q}}_{s}}$ при помощи уравнений ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=\sum _{m=1}^{s-d}h_{km}{\dot {q}}_{m}+h_{k}}$ и таким образом получить ${\displaystyle s-d}$ уравнений с ${\displaystyle s-d}$ неизвестными ${\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{s-d}}$, которые интегрируются независимо от уравнений неголономных связей^[2].

• Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.